超Sober空間與k-有界Sober空間的性質

唐 友, 楊金波

(江西師范大學 數學與信息科學學院, 江西南昌330022)

§1 引言與預備

序與拓撲之間有著緊密的聯系. 給定一個偏序集, 其上有許多經由偏序定義的拓撲, 稱之為偏序集上的內蘊拓撲, 如“單邊”拓撲上拓撲, 下拓撲, Scott拓撲, Alexandroff拓撲及“雙邊”拓撲區間拓撲, Lawson拓撲, 雙Scott拓撲等等. 偏序集上的序結構影響著其上內蘊拓撲的性質,比如連續偏序集上的Scott拓撲是局部緊的. 另一方面, 給定一個拓撲空間, 其開集族在集合的包含序下是一個“天然的”Frame; 若(X,τ)是一個T0拓撲空間, 定義x ≤τ y當且僅當x ∈cl{y},則(X,≤τ)為一個偏序集, 稱≤τ為空間(X,τ) 的特殊化序(specialization order). 拓撲空間的性質也影響著相應序結構的性質, 比如: 若X為局部緊空間, 則其開集Frame是連續格.

Sober空間在非Hausdroff拓撲與Domain理論中扮演著重要角色, 其定義是由既約集給出的. 拓撲空間X的一個非空子集F稱為既約的, 若對任意閉集A,B,F ?A ∪B蘊含著F ?A或者F ?B. 既約集與定向集之間有著緊密的聯系. 一方面, 對于給定的T0空間, 在其特殊化序下,X中的定向子集是既約集; 另一方面, 對于任意偏序集P, 其Alexandroff空間(P,γ(P))中的既約集恰好為偏序集P中的定向集. 基于這一重要觀察并結合偏序集P上Scott拓撲的定義,文[1]在更為一般的T0拓撲空間中引入了由既約集誘導的拓撲的定義, 因而偏序集上的Scott拓撲恰好為其上Alexandroff拓撲空間中既約集所誘導的拓撲. 為了刻畫空間中既約集所誘導拓撲的性質, 文[1]引入了超Sober空間與k-有界Sober空間的概念并得到許多有意義的結果. 比如T0空間X中由既約集誘導的拓撲與……