某一周期函數類在Orlicz空間內的n寬度

高 媛, 吳嘎日迪

(內蒙古師范大學 數學科學學院, 內蒙古呼和浩特010022)

§1 引 言

寬度問題的研究是函數逼近問題研究中比較難的方面, 研究一些周期卷積類或非周期卷積類的寬度估計問題是寬度問題研究中的重要內容. 王曉麗等在文獻[1]中研究了Sobolev函數類在Orlicz空間內的寬度估計問題, 吳嘎日迪在文獻[2]中研究了某一周期卷積類在Orlicz 空間內的寬度估計問題. 本文研究了由實系數線性微分算子定義的周期函數類?rM在Orlicz空間內的寬度估計問題.

文中用M(u)和N(v)表示互余的N函數. 關于N函數的定義及相關性質見文獻[3].M(u)為N函數當且僅當存在定義在[0,+∞)上的實值函數p(t), 使得

其中p(t)滿足下列條件.

(1)p(t)為右連續的非減函數;

(2) 當t>0時,p(t)>0;

(3)p(0)=0,p(∞)=∞.

這時p(u)為M(u)的右導數. Orlicz空間L?M的定義及相關性質見文獻[3].G表示n維Euclid空間Rn中有界閉集,u(x),v(x)表示定義在G上的Lebesgue可測實函數. 文中是Orlicz范數,定義如下:

§2 預備知識

命題2.1(見[6]) 設Λ是線性賦范空間X上的一個中心對稱的閉凸子集, 則

這里dn(Λ;X)(Λ;X),dn(Λ;X),bn(Λ;X) 分別代表Kolmogorov寬度, Linear寬度, Gelfand寬度, Bernstein寬度.

定義2.1若存在n+1個不相交的有序區間I1,··· ,In+1(即對任意x ∈Ij,y ∈Ij+1,j=1,··· ,n,有x

這里ε=±1是固定的, 而且測度m{x:x ∈Ij,f(x)0}>0,則稱S(f;[a,b])=n.

記S(f)=S(f;[0,1]).

命題2.2(見[4]) 對于K ∈C([0,1]×[0,1]),h ∈L1[0,1]且0, 令

若K是全正的, 則有S(Kh)≤S(h).

§3 定理及證明