連續廣義框架及其對偶的刻畫, 冗余及擾動

張 偉, 周 靜

(河南財經政法大學 數學與信息科學學院, 河南鄭州450046)

§1 引 言

Hilbert空間中的框架概念是在1952年由Duffin和Schaeffer[1]在研究非調和Fourier級數時首先提出的. 1986年Daubechies[2]等突破性的研究引起學者對框架的極大關注和興趣. 到目前為止, 框架已經廣泛應用于圖像處理[3], 無線通訊[4], 神經網絡[5], 量化測度[6]等領域. 因此, 有關框架的研究成果十分豐富(見[7-12]).

隨著框架研究的不斷深入, 出現了許多推廣形. 特別地, 1993年, 文[13]將框架推廣到帶有Radon測度的局部緊空間, 引入了連續框架的概念; 2006年, 文[14]提出廣義框架的概念;2008年, 文[15]提出連續廣義框架的概念使得連續框架與廣義框架成為連續廣義框架的特殊形式. 本文受文[16]工作的啟發, 進一步考慮連續廣義框架及其對偶的深刻性質.§2列出連續廣義框架及其對偶的定義, 并給出本文用到的連續廣義框架的一些基本性質.§3利用相關算子去刻畫連續廣義框架及其對偶連續廣義框架.§4討論連續廣義框架及其對偶連續廣義框架的冗余性, 即對任一給定的連續廣義框架, 在某些條件下, 去掉部分元素后剩下部分還能構成連續廣義框架.§5研究連續廣義框架及其對偶擾動的穩定性.

§2 預備知識

本節列出全文所用到的框架的一些記號, 定義和基本性質.

記號:H, U, V表示復Hilbert空間, (?, μ)表示賦予正測度μ的測度空間,{Vω}ω∈?表示V的一列閉子空間,L(H, Vω)表示由H到Vω的所有有界線性算子的集合, 特別, 如果對于任意ω ∈?,有Vω=H, 則記L(H, Vω)為L(H),IH表示H的恒等算子.

§3 連續廣義框架及其對偶的刻畫

§4 連續……

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