廣義Nekrasov矩陣的判別法及其迭代算法

郭愛麗, 左建軍

(貴州工程應用技術學院 理學院, 貴州畢節551700)

§1 引 言

廣義Nekrasov矩陣是一類廣泛應用于經濟數學, 控制理論及工程數學等領域的特殊矩陣(見[1-11]), 例如數值計算中遇到的大型線性方程組AX=b, 當系數矩陣A為廣義Nekrasov矩陣時許多經典的迭代算法均是收斂的; 又如數學物理中考察迭代矩陣譜半徑時, 當所考察的矩陣為Nekrasov矩陣時其迭代矩陣的譜半徑比其為對角占優矩陣時的譜半徑更精確. 因此, 探究廣義Nekrasov矩陣簡單實用的判別法具有重要的理論和實踐意義, 文[5]在弱Nekrasov矩陣的前提下, 利用子矩陣和鏈對角占優給出廣義Nekrasov矩陣的一個充分判定; 文[12-17]利用矩陣元素的性質, 針對矩陣元素下標區域的不同劃分, 給出廣義Nekrasov矩陣的若干判別法. 本文對一般任意給定的矩陣, 通過對其下標集給予不同的遞進式劃分, 利用定義構造特殊的正對角矩陣,結合不等式的放縮, 給出廣義Nekrasov矩陣的兩個充分條件, 并以此為理論基礎, 進而獲得廣義Nekrasov矩陣的兩個迭代算法, 改進和推廣了已有相關結果.

則A是廣義Nekrasov矩陣.

顯然, 若N1= ?, 則A ∈N, 由引理1.1[4]知A ∈N?; 若N2= ?, 由引理1.2[5]知A/∈N?,此外, 若矩陣A的主對角線元素中存在零元, 由引理1.3[8]知A/∈N?. 因而, 這里總假設數集N1,N2皆非空, 且矩陣A的主對角線元素均非零.

§2 廣義Nekrasov矩陣的判別法

下面通過對方陣行下標集不同的區域劃分, 構造特殊的正對角矩陣因子, 結合不等式的放縮技巧, 給出廣義Nekrasov矩陣兩個新的判別法.

由(14)-(15)式知, 對?i ∈N1,j ∈N2, 都有(|bii|?αi(B))(|bjj|?βj(B))>βi(B)αj(B), 從而由引理1.6[18]知B=AX1∈N?, 故存在正對角矩陣X2, 使得B……