FitzHugh-Nagumo方程的分歧

閆東明

(浙江財(cái)經(jīng)大學(xué) 數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院, 浙江杭州310018)

§1 引 言

軸突中信號的傳播是神經(jīng)科學(xué)中一種重要的現(xiàn)象. 人們?yōu)榱搜芯吭摤F(xiàn)象引入了諸如Hodgkin-Huxley (HH) 方程[1], FitzHugh-Nagumo (FN)方程[2-4]等偏微分方程組. FN方程是HH方程的簡化方程, 其形式如下:

其中00,ε>0,未知函數(shù)v表示軸突中的電壓,y與電壓升高時(shí)鉀離子電壓門控通道打開以及鈉離子電壓門控通道關(guān)閉行為有關(guān). 此外,a代表v的閾值, 參數(shù)ε代表y的延遲反應(yīng),I代表電流,γ是一個(gè)調(diào)整參數(shù).

人們對FN方程的研究無論是理論方面還是數(shù)值方面都取得了重要進(jìn)展, 總結(jié)起來主要包括行波解的存在性, 同宿軌的存在性, 全局吸引子的存在性以及Hopf分歧等方面的成果. 這些成果為人們理解軸突中信號傳播這一重要的現(xiàn)象提供了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ). 然而, 上述研究成果對具有更一般形式的FN方程(1.1)什么時(shí)候發(fā)生分歧, 以及影響分歧的因素有哪些等問題都沒有給出回答. 本文試圖就上述問題給出一些回答. 具體地, 研究(1.1)的定態(tài)分歧和Hopf分歧, 即(1.1)的定態(tài)方程當(dāng)控制參數(shù)變化時(shí)在怎樣的條件下有非平凡解存在, 以及(1.1)當(dāng)控制參數(shù)變化時(shí)在怎樣的條件下有非平凡的周期解存在.

運(yùn)用線性穩(wěn)定性分析, 非線性分歧理論以及零指標(biāo)Fredholm算子的相關(guān)性質(zhì), 證明了FN方程(1.1)當(dāng)參數(shù)ε超過某個(gè)臨界值時(shí)有定態(tài)分歧發(fā)生, 即該方程從平凡解分歧出非平凡解, 這意味著通常的常值平衡態(tài)失去穩(wěn)定性達(dá)到另外一種非常值的平衡態(tài), 此時(shí)的非常值平衡態(tài)是(1.1) 定態(tài)方……