高中對數函數易錯題分析

劉 月

(江蘇省濱海中學 224000)

對數函數是描述某些自然規律的一類重要函數，既是指數函數的反函數，也是高中乃至以后的數學學習中應用極為廣泛的重要初等函數之一，是非常重要的.對數函數y=logax(a> 0且a≠ 1) 的圖象有兩個特征點，一定經過兩個點(1,0)和(a,1).但同學們在解答此類函數題時因對函數的相關性質和定義不太熟悉，容易出現以下錯誤.現一一分析如下：

一、因忽略函數定義域易致錯

例1函數f(x)與g(x)=2x互為反函數，則f(4x-x2)的單詞遞增區間為( ).

A．(- ∞，2] B．[2， + ∞) C．[2，4) D．(0，2)

解析由題意可知f(x)與g(x)=2x互為反函數，所以f(x)=log2x，f(4x-x2)=log2(4x-x2).由4x-x2>0，得0

例2函數y=log2(-x2+2x+3)的單調遞減區間為( ).

A．(-∞，3] B．[3，+∞) C．[1，3) D．(3，1)

解析函數的定義域為(-1，3)，原函數可看作由y=log2u，u=-x2+2x+3復合而成，其中函數y=log2u是增函數，u=-x2+2x+3在區間[1，3)上是減函數，所以原函數的單調減區間為[1，3).故此題正確答案為C.

注：對函數的單調性問題，一定注意真數大于0的條件.

二、因忽略復合函數的定義域易致錯

例3已知函數y=f(2x)的定義域為[-1，1]，則函數y=f(log2x)的定義域為( ).

解析(1)由2x≤256，得x≤8.由log2x≥1，得x≥2，所以2≤x≤8.

注：復合函數的定義域容易被忽視，要特別注意對應關系，明確定義域的含義.

三、因忽略對底數的討論易致錯

例5函數y=logax(a>0且a≠1)在[2，4]上的最大值與最小值的差是1，則a的值為多少？

解析(1)當a>1時，函數y=logax在[2，4]上是增函數，所以loga4-loga2=1，即loga(4/2)=1,所以a=2.

(2)當0

由(1)(2)可得a=2或a=1/2.

例6已知2loga(x-4)>loga(x-2)，求x的取值范圍.

解析由題意可得x>4，原不等式可變為loga(x-4)2>loga(x-2).

當a>1時，函數y=logax為定義域內的增函數，

∴(x-4)2>x-2，x>4，可得x>6.

當0

∴(x-4)24，可得4

綜上所述，當a>1時，x的取值范圍為(6，+∞)；

當0

注:底數的范圍不同決定了函數的單調性不同，所以一定要對底數進行討論.

四、因忽略分段函數的定義域分界點易致錯

例7已知f(x)=(3a-1)x+4a(x<1)，logax(x≥1)都是減函數且恒有f(x)>logax，那么a的取值范圍是多少？

解析∵g(x)=logax(x≥1)是減函數，

∴0

∵f(x)=(3a-1)x+4a(x<1)為減函數，

∴3a-1<0,∴a<1/3.

又∵f(x)=(3a-1)x+4a>logax恒成立,

∴(3a-1)×1+4a≥0.∴a≥1/7.∴a∈[1/7，1/3).

例8若f(x)=(3-a)x-4a(x≤1)，log5ax(x>1)是增函數，且恒有f(x)

解析∵f(x)=(3-a)x-4a(x≤1)，log5ax(x>1)是增函數，

∴得知3-a>0，5a>1，log5a1≥3-5a,

∴a∈[3/5，3).

注：函數單調性的一致性，要求端點值的大小關系也是確定的.

總之，同學們在解答對數函數題時，一定要從對數函數概念和定義入手，充分利用對數函數圖象的特征點來分析，正確迅速地找到解題途徑，從而得出正確答案，這對激發學習興趣，提高數學素養也有重要意義.