例析零點虛設在解導數解答題中的應用

李 寧 賀航飛

(海南省海南中學 571158)

導數是研究函數性質的重要工具. 導函數的零點在研究函數單調性和極值時起著關鍵作用. 有時候導函數的零點存在但是不可求，這時就可以虛設零點參與接下來的解題. 下面從不同題型歸類剖析虛設導函數零點的應用.

一、在證明不等式中的應用

例1已知函數f(x)=ex-alnx(a∈R,a>0)，證明：f(x)≥a(2-lna).

又g(0)=-a<0，g(a)=a(ea-1)>0，從而存在x0∈(0,a)使得g(x0)=0，且當x∈(0,x0)時f′(x)<0，f(x)單調遞減；當x∈(x0,+∞)時f′(x)>0，f(x)單調遞增. 從而f(x)≥f(x0)= ex0-alnx0.

評注本題f(x)的極小值剛好是最小值，而f′(x)的零點x0存在但不可求. 關于x0的信息集中在方程g(x0)=0中，借助此方程靈活變形，化簡f(x0)的解析式(設法將其中的指數結構、對數結構等復雜表達式換為較為簡單結構).

例2已知函數f(x)=ex-x2，設x≥0，求證：f(x)>x2+4x-14.

證明設g(x)=f(x)-(x2+4x-14)=ex-2x2-4x+14(x≥0).則g′(x)=ex-4x-4，g″(x)=ex-4. 當x∈(0,ln4)時，g″(x)<0，g′(x)單調遞減；當x∈(ln4,+∞)時，g″(x)>0，g′(x)單調遞增. 又g′(0)=-3<0，g′(2)=e2-12<0，g′(3)=e3-16>0，于是存在x0∈(2,3)使得g′(x0)=0，此時ex0=4x0+4，且當x∈(0,x0)時g′(x)<0，g(x)單調遞減；當x∈(x0,+∞)時g′(x)>0，g(x)單調遞增.

評注對于取不到等號的函數不等式的證明，在作差求導時往往會遇到導函數零點不可求的情形. 在用零點存在性定理確定零點所在區間時，應盡可能讓這個區間長度變小. 在解析分析的過程中，可以先取一個大致區間，后期如果這個區間不能滿足需求，再回過頭調整這個區間.

二、在恒成立求參數范圍題型中的應用

例3 已知函數f(x)=xlnx，g(x)=(k-3)x-k+2(k∈Z). 當x>1時，不等式f(x)>g(x)恒成立，求k的最大值.

評注分離參數后，問題轉化為求函數h(x)的最小值. 在審題時，題目求整數k的最大值，而不是求實數k的最大值，很有可能是k的最大值存在但不可求，只能估算. 本題也可以不分離參數，采用先取特殊值必要性探路再證充分性的方法解決，即：由f(2)>g(2)得k<4+2ln2，由于k∈Z，從而k≤5. 容易證明當k=5時f(x)-g(x)>0恒成立，故整數k的最大值為5.

三、在零點問題中的應用

例4 已知函數f(x)=ax2-x-lnx,a∈R. 若函數f(x)有兩個零點，求實數a的取值范圍.

(1)當a≤0時，f′(x)<0，f(x)在(0,+∞)上單調遞減，不可能有兩個零點.

(2)當a>0時，設g(x)=2ax2-x-1，則二次函數g(x)開口向上且g(0)=-1<0，從而存在x0>0使得g(x0)=0，且當x∈(0,x0)時g(x)<0，f(x)單調遞減；當x∈(x0,+∞)時g(x)>0，f(x)單調遞增.

綜上所述，實數a的取值范圍為(0,1).

四、在極值問題中的應用

相關練習：

2.已知函數f(x)=x2-x-xlnx，證明：f(x)存在唯一極大值點x0，且e-2

3.若k∈Z，當x>1時，不等式xlnx+x>k(x-1)恒成立，求k的最大值.

4.已知函數f(x)=ln(x+1)+ax2(a>0)，若函數f(x)在區間(-1,0)有唯一零點x0，證明：e-2