2018年廣州一模理科12題的求解探討

王曉川

(廣東省汕頭經(jīng)濟(jì)特區(qū)林百欣中學(xué) 515000)

題目(2018·廣州一模理·12)設(shè)函數(shù)f(x)在R上存在導(dǎo)函數(shù)f′(x)，對于任意的實數(shù)x，都有f(x)+f(-x)=2x2，當(dāng)x<0時，f′(x)+1<2x，若f(a+1)≤f(-a)+2a+1，則實數(shù)a的最小值為( )

本道試題是以抽象函數(shù)為載體，以導(dǎo)數(shù)為工具，以解不等式為落腳點.該題涉及抽象函數(shù)的性質(zhì)，用導(dǎo)數(shù)工具研究函數(shù)單調(diào)性，解不等式等內(nèi)容.抽象函數(shù)由于沒有具體的解析式，因此它就像“神”一般的存在，具有很高的隱蔽性和抽象性，問題較為復(fù)雜，問題研究難度較高.該類問題的求解對數(shù)學(xué)綜合能力的要求較高，因此該類問題常以壓軸題的形式在試題中呈現(xiàn).本題是2018年廣州市高考第一次模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)選擇題的壓軸題，從測試結(jié)果來看真正達(dá)到了壓軸的目的，得分率很低.

思路一：構(gòu)造特殊函數(shù)

解法1要構(gòu)造同時滿足對于任意的實數(shù)x，都有f(x)+f(-x)=2x2和當(dāng)x<0時，f′(x)+1<2x的特殊函數(shù).

首先觀察等式f(x)+f(-x)=2x2的右邊是2x2，因此可以確定函數(shù)f(x)的解析式里一定含有x2.同時還要考慮當(dāng)x<0時f′(x)+1<2x，因此可以確定函數(shù)f(x)的解析式里還有含有kx，且k+1<0即k<-1.

此時可以令f(x)=x2+kx(k<-1)，不妨令k=-2，得f(x)=x2-2x.

所以f(x)+f(-x)=x2-2x+(-x)2-2(-x)=2x2，f′(x)=2x-2，

所以f′(x)+1=2x-2+1=2x-1<2x滿足題意.

評注構(gòu)造特殊函數(shù)將抽象函數(shù)的“隱蔽性”“顯性化”對問題的解決大有幫助.我們可由f(x)+f(-x)=2x2得知函數(shù)f(x)的解析式里一定含有x2這一項，這一點不難理解，但若f(x)=x2，則f′(x)=2x顯然不滿足f′(x)+1<2x.考慮到等式f(x)+f(-x)=2x2的左邊f(xié)(x)和f(-x)，x與-x互為相反數(shù)，而等式f(x)+f(-x)=2x2的右邊只有2x2，因此可以確定函數(shù)f(x)的解析式里還含有kx這一項，同時還要考慮到當(dāng)x<0時f′(x)+1<2x，所以k+1<0即k<-1.此時就可以構(gòu)造特殊函數(shù)f(x)=x2+kx(k<-1)，為解決問題更加方便，k可以取滿足k<-1的具體整數(shù)，后面問題的解決就比較容易了.因此說，構(gòu)造特殊函數(shù)解決有關(guān)抽象函數(shù)導(dǎo)數(shù)不等式問題，尤其是客觀題是一種很不錯的選擇，效率更高，達(dá)到小題巧做得目的.

評注解法2與解法1思路差不多，主要是如何想到構(gòu)造特殊函數(shù)，解法2與解法1的思路切入點有所差異.

思路二：構(gòu)造一般函數(shù)

解法3 對于任意的實數(shù)x都有f(x)+f(-x)=2x2聯(lián)想到函數(shù)的奇偶性，故設(shè)f(x)=x2+g(x)，所以函數(shù)g(x)=f(x)-x2為奇函數(shù).

又由當(dāng)x<0時f′(x)+1<2x，即f′(x)-2x<-1，所以g′(x)=f′(x)-2x<-1，所以函數(shù)g(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減，又g(x)為奇函數(shù)，g(x)在R上單調(diào)遞減.

評注該解法是該類問題的一般解法，但算理不好理解，眾多考生很難想到這樣解.如：“對于任意的實數(shù)x都有f(x)+f(-x)=2x2”如何聯(lián)想到函數(shù)的奇偶性？退一步說，就算能聯(lián)想到函數(shù)的奇偶性，那又怎樣想到要構(gòu)造f(x)=x2+g(x)？又怎樣想到g(x)為奇函數(shù)？能想到這些的學(xué)生很不一般，肯定少之又少，對于很多考生來說想到這些就不是那么自然！這些恰恰是他們解該類問題的“思維痛點”.由于解題“思維不通”，于是“痛不欲生”，正所謂“痛則不通，通則不痛”.相比之下解法1就顯得親切很多，更容易讓人理解，更容易讓人接受.但要想根據(jù)題意快速想出特殊函數(shù)并不容易，需要日積月累，勤于思考，勤于實踐，方可具備敏銳的洞察力和快速解答問題的能力.