新高考背景下數形結合思想的應用研究
——以函數性質探究為例

楊 兵

(貴州省黔東南州民族高級中學 556000)

在《普通高中數學課程標準》中明確指出了，在高中數學課堂教學中，教師要全面加強學生對圖形的理解，提高學生空間思維想象能力，因此，教師要在課堂教學中引導學生進行主動思考，構建代數和圖形之間的聯系，進而調動學生學習的積極性、主動性.鑒于此，在新課程標準的要求下，教師必須要改變傳統的課堂教學模式，借助數形結合思想內涵，將復雜的數學知識進行轉化，使其成為直觀的圖象，進而引導學生在直觀地觀察中、理解思路、實現高效地學習.

一、數形結合思想概述

數形結合是一種重要的數學思想，還是一種有效的數學解題方式.就最近的幾年高考來說，數形結合思想在高考中占據十分重要的地位.結合最近的高考試題研究分析，其中約有三分之一的題目可以利用數形結合的思想進行解答，尤其是在高考數學選擇題、填空題目的處理中，通過數形結合思想的靈活運用，可對高考題目進行快速解答.

所謂的數形結合思想主要是指在具體的數學學習中，以數學問題作為出發點，并對數學題目中所隱藏的數量關系進行明確.之后，充分借助幾何圖形的形式，對題目中的數量關系進行表示，并結合一定的幾何圖形，將題目中的概念、性質等進行明確，并對其進行解決.在具體的高中數學課堂教學中，“數形結合思想”主要包括兩種，即：(1)以形助數：主要是在具體的課堂教學中，借助幾何圖形，將代數問題進行闡明，進而使得復雜、抽象的代數問題更加直觀、具體、生動.例如，在高中函數課堂教學中，函數式就屬于復雜的、抽象的代數式，而函數圖象則屬于幾何圖形，借助函數圖形對其性質進行講解，可降低學生學習的難度；(2)以數輔形：主要是在課堂教學中，在著手對函數圖象的性質進行探討時，以代數作為手段，借助規范性、精確性的數字對圖形中所呈現的某些性質進行描述.

二、數形結合思想在函數問題中的應用

1.在函數單調性判斷中應用

在高中數學函數知識學習中，函數的單調性是其最為重要的性質之一，也是對函數進行研究的重要方向，是針對函數概念而進行的一種深層次的拓展和延伸.但是在傳統的課堂教學中，受到多種因素的影響，學生對其理解存在較大的難度，以至于無法體會到學習的樂趣和成就感，久而久之就會使學生逐漸喪失學習興趣.鑒于此，教師在有關函數單調性內容的教學中，就可以充分借助數形結合思想，將函數的單調性以圖形的形式直觀地呈現在學生面前，進而引導學生在圖形的輔助下，對這一部分的內容進行有效的掌握.

例如，在對二次函數“f(x)=x2+4x+4”明確單調區間，并對其單調區間的單調性進行確定的時候，為了進一步提升課堂教學效率，教師就可以引導學生對這一二次函數進行變形，使其成為f(x)=(x+2)2，如此一來，可使得函數圖象更加直觀.在具體對其解決的時候，教師就可以引導學生畫出f(x)=x2的圖象，之后通過平移的方式，將所畫出的函數圖象向左平移2個單位，即可得到f(x)=(x+2)2的圖象(如右圖).接著，教師可借助函數圖象的形式，引導學生對其進行觀察，在直觀形象的圖象中，對該函數的單調性做出準確的判斷.接下來，教師還可以采用定義法的形式，引導學生對判斷的結果進行驗證，以確保所得出的結論更加嚴謹.

由此可以看出，在對函數單調性進行判斷的過程中，通過數形結合思想的應用，使得抽象的問題更加具體化、形象化，進一步降低了學生學習中的難度，并在一定程度上提升了學生對函數的學習興趣，促使其積極主動參與到課堂學習中.

2.在函數最值求法中應用

在高中數學函數課堂教學中，函數的最值求解是考試考查的重點.在對函數這一知識點進行學習時，由于其對學生的分析能力、邏輯思維能力、數學學習能力要求相對比較高，而學生在傳統數學課堂教學模式下形成的固化了的解題思路，嚴重制約著學生的學習效果.鑒于此，教師在對這一部分內容進行教學時，也可充分借助數形結合思想，引導學生借助對圖象的觀察，對函數的最值進行明確和求解.

同時，學生在借助數形結合思想解決函數性質問題的時候，也打破了傳統模式下的解題思路，促使學生在學習中，顯著提升了其分析、邏輯思維能力等.長此以往下去，就會全面提升學生的數學學習能力.

綜上所述，數形結合思想作為一種有效的數學學習方式，將其應用到高中數學函數性質教學中，簡化了知識，降低了學習難度，極大地節省了學生在解題過程中所使用的時間，從而全面提升了學生的解題效率.