借助函數對稱的特性 實現問題簡單化

吳大良

(江蘇省射陽縣陳洋中學 224361)

函數的有關性質是高中數學經常考查的內容，也是高考考查的重點對象.對稱性作為函數的基本性質之一，廣泛存在數學問題當中.利用函數的對稱特性，可以使得某些問題簡單化，使得問題更加簡潔高效地解決，充分展現數學的美.下面通過例題，介紹函數對稱性在解題中的具體應用.

一、二次函數對稱性問題

二次函數是高中數學中極其普通常見的函數，是非常重要的函數，其存在廣泛的應用空間.借助二次函數的對稱性，可以提高解決關于對稱方程根的問題的效率，尤其是在選擇題中，借助對稱的特性進行相互轉化，方便找到解決問題的入口，如：

A.{1,2} B.{1,4}

C.{1,2,3,4} D.{1,4,16,64}

反思二次函數關于某條直線對稱實際就是告知二次函數的對稱軸是什么，要善于將問題中的信息進行等價轉化.

二、三角函數對稱性問題

除二次函數以外，三角函數也是數學中十分重要的函數之一.正弦函數、余弦函數不僅僅是周期函數，更是對稱性的函數.因此，在利用正余弦函數的對稱性時，有時還要考慮周期性，如：

反思：正弦函數與余弦函數在利用對稱性解決問題時，一定要考慮定義域和函數的周期性，避免出現錯解.

三、奇偶函數對稱性問題

奇偶函數是函數中的一種特殊的函數，一旦問題中提及到函數是奇函數或是偶函數，相當于告訴我們函數的定義域滿足的條件和奇偶函數的性質.無論奇函數還是偶函數的定義域都是關于原點對稱，不同的在于奇函數的圖象是關于原點成中心對稱，而偶函數的圖象關于y軸成軸對稱.因此，把握最經典也是最簡單的奇偶函數的對稱性質，可以實現快速解題，如：

A.3 B.4 C.5 D.6

g(x)是奇函數，且函數關于原點對稱，因此函數g(x)的最大值與最小值是互為相反數.所以f(x)max+f(x)min=[2+g(x)max]+[2+g(x)min]=4+g(x)max+g(x)min=4+0=4，故選擇B.

反思此題借助函數奇偶性判斷出函數具有的相關性質，奇函數的最大值與最小值的和是為0的，體現了數學上設而不求的思想，搭建到達問題彼岸的橋梁.此外，此題也對奇函數的圖象的對稱性和分離常數等知識進行綜合的考查與研究.

簡而言之，函數的對稱性非常多，無法一一詳述，也不可能將所有的對稱性問題全部舉例.因此，在日常學習中，可以關注常見的利用對稱性解決問題的題型，通過不斷積累，找到解決問題的快捷高效的方法.