大膽猜想 數形求證

王蘇文

(浙江省諸暨市浬浦中學 311824)

普通高中數學課程標準(2017版)指出，數學學科核心素養包括：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析.在學習數學和應用數學的過程中，學生能發展數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析等數學學科核心素養.本文以2019年浙江高考第16題為例，闡述如何在數學素養下求解問題.

從試題來看，題干清楚、簡潔，但有難點，尤其是存在性與任意性的問題對于學生而言始終是個難點.本題主要考查函數、不等式(含絕對值)等高中數學的基礎知識，多角度、多層次地考查函數方程思想、數形結合思想等數學思想，同時也深度考查數學抽象與邏輯推理等數學學科核心素養，屬于中等題.試題背景熟悉，學生容易入手，試題設計上能適合不同能力層次的學生.

本題在很多雜志上都有相應的佳作，在閱讀雜志過程中頭腦中有這樣一個想法，注意到函數發現f(x)為奇函數，圖象關于原點對稱，同時f(x+2)-f(x)的橫坐標之差為定值，結合浙江高考題的命題理念(高考命題數學組的試題評析和命題思路報告中提到：從整體出發運用合理的算法快速求解問題，這種“想得多一點，算得少一點；想得少一點，算得多一點”的命題理念).

一、大膽猜想

高中數學課程標準指出：直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數學問題的素養.主要包括：借助空間形式認識事物的位置關系、形態變化與運動規律；利用圖形描述、分析數學問題.

二、形的驗證

為了證實這個問題的正確性，隨后運用幾何畫板，通過圖象來驗證結果的可靠性，以下是幾何畫板的驗證情況.

在實數a的變化過程中，夾在x=t,x=t+2的縱坐標之差最小值為恰好為t=-1時取到.

三、數的求證

高中數學課程標準也指出：數學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的素養.通過高中數學課程的學習，學生能進一步發展數學運算能力；有效借助運算方法解決實際問題；通過運算促進數學思維發展，形成規范化思考問題的品質，養成一絲不茍、嚴謹求實的科學精神.為了確保解題的嚴密性，筆者也運用最基本的運算方法進行解答.

此法圍繞函數思想進行求解，作為絕對值問題的常見方法為分類討論，解法如下.

此法主要利用|x|≤m(m>0)?-m≤x≤m分類討論去掉絕對值，同時運用分離變量法求函數的最值問題，使問題越來越簡潔，明了.

四、幾種視角

從數學的視角發現問題、提出問題，分析問題、建立模型，確定參數、計算求解，檢驗結果、改進模型，最終解決實際問題.本題可從以下幾個視角進一步的思考：

在平時求解過程中一方面要敢于大膽的猜想，而猜想的根源來于自己所掌握的知識和方法中所提煉的，同時也要能夠進行嚴密的計算與驗證，只有通過這樣才能將數學學科素養得以在數學學習中不斷提升.