利用隔項思想突破數列通項公式難題

高振寧

(山東省新泰市第一中學 271200)

數列問題是高考解答題必考題型，隨著高考命題改革的進行，此類考查形式變化較大、有一定的解答技巧.此類問題的本質是數列的通項公式與數列求和問題，而解決的關鍵是求解數列的通項公式.為此筆者就利用隔項思想求解數列通項公式的方法介紹一下自己的淺見，試圖建立解決此類問題的通法，供大家參考.

例1已知數列{an}滿足a1=1，anan+1=3n，求數列{an}的通項公式.

若不利用隔項思想：log3an+1+log3an=n，則令bn=log3an，則得

例2已知數列{an}滿足a1=1，an+an+1=3n，求數列{an}的通項公式.

通過上述的兩個例題，可以發現此類問題大都是以鄰項和或鄰項積的形式出現，解決問題的方法可以采取兩種方式，第一種采取隔項思想解決，它的本質是在子列中構造等差數列或等比數列，上述例1的子列項的比值為常數，是等比數列，例2的子列項的差值為常數，是等差數列，且兩個通項公式相對簡單，便于應用解決數列的相關問題；第二種方法，直接構造等比數列，也可求出數列的通項公式，但是通項公式一般含(-1)n項，公式本身很復雜，很抽象，應用價值不大，即使要應用也需要利用分類討論去掉(-1)n項，最終得到利用隔項思想得到的通項公式,這體現了隔項思想的巨大應用應用價值.隔項思想處理此類問題的本質是尋找子列當中的等差或等比數列，而直接求解是整個數列構造公比為-1的等比數列，它們都是構造數列，只是處理的的角度不同.

利用隔項思想處理問題的規律總結：

(1)題目中出現連續兩項或幾項的和與積，

(2)若是若干項的和，則連續兩項作差；若是兩項的差，則連續兩項求和，若是若干項之積，則連續兩項求商.

(3)解決問題的靈魂是構造等差數列或等比數列.

(4)求出的通項公式一般是分段形式，且與奇偶數有關.

(5)求出通項公式后，若求和一般也需對序號進行隔項求解，可以利用抽象問題具體化的思想來防止出錯.

從下面兩個例題來感受如何高效利用隔項思想.

例3(2012全國卷)數列{an}滿足an+1+(-1)nan=2n-1，則數列{an}的前60項和為( ).

A．3690 B.3660 C.1845 D.1830

解當n為奇數時，an+1-an=2n-1，代入n+1得an+2+an+1=2n+1，兩式相減得an+2+an=2，可知n為奇數時{an+2+an}為常數列，n為偶數時，an+1+an=2n-1，代入n+1得an+2-an+1=2n+1.

兩式相加得an+2+an=4n，可知n為偶數時{an+2+an}為等差數列，則S60=(a1+a3)+(a2+a4)+(a5+a7)+(a6+a8)+…+(a57+a59)+(a58+a60)

=(a1+a3)+(a5+a7)+…+(a57+a59)+(a2+a4)+(a6+a8)+…+(a58+a60)

=2×15+(8+24+…+232)=1830，故答案是D.

實際上高考試題對連續兩項的性質加入(-1)n后，使題目難度增大，但是根據上述規律2，n為奇數時求差，n為偶數時求和，最終得到了子列是等差數列，但是在求解出通項公式后，應用容易出錯，n為偶數時，an+2+an=4n，若求S偶=(a2+a4)+(a6+a8)+(a10+a12)+…

則n的取值分別為2,6,10…，而不是2,4,6，…，這是解決此類問題的易錯點，可以利用列舉法來歸納規律.

例4設數列{an}的前n項和為Sn，an+1+an=2n+1，a2<2，則使Sn=2019的n的最大值為____.

解由題意an+1+an=2n+1，得an+2+an+1=2n+3，兩式相減得an+2-an=2，故{a2n-1}是a1為首項2為公差的等差數列，{a2n}是a2為首項2為公差的等差數列,則

當n為偶數時,

Sn=(a1+a3+a5+…+an-1)+(a2+a4+a6+…+an)

=[a1+(a1+2)+(a1+4)+…+(a1+n-2)]+

[a2+(a2+2)+(a2+4)+…+(a2+n-2)]

當n為奇數時,

又因n∈N*，可知n≤63，故n的最大值是63.

此題是隔項思想求通項公式與基本不等式的知識的綜合，在不知前兩項的前提下，可以求出數列的通項公式與a1,a2有關，借助于分類討論思想，利用分組求和方式求出數列的Sn，發現如下規律：

(1)當n為偶數時Sn與a1,a2都無關，僅與n有關，

(2)當n為奇數時Sn既可以寫成與a1有關的解析式，也可以寫成與a2有關的解析式.

(3)在利用求解不等式解決問題時注意變量的取值范圍.

(1)若數列{an}滿足anan+1…an+k=Mαn+β(k≥1,k∈N*,M≠0)成立，則數列{an}可以拆分成k+1個子數列，且每個子數列都為等比數列；

(2)若數列{an}滿足an+an+1+…+an+k=αn+β(k≥1,k∈N*)成立，則數列{an}可以拆分成k+1個子數列，且每個子數列都為等差數列.

利用隔項思想解決鄰項數列問題，值得我們進一步作深入的研究.