一道質(zhì)檢題的多解與探究

蔡海濤

(福建省莆田第二中學(xué) 351131)

一、試題呈現(xiàn)

已知函數(shù)f(x)=lnx-x，g(x)=xex-2x-1.

證明:當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),g(x)≥f(x).

二、解法探究

又G(0)<0,G(1)>0，所以G(x)存在唯一零點(diǎn)x0，且x0∈(0,1).

當(dāng)x∈(0,x0)時(shí)，G(x)<0，則F′(x)<0，F(xiàn)(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)x∈(x0,+∞)時(shí)，G(x)>0，則F′(x)>0，F(xiàn)(x)單調(diào)遞增.

所以F(x)min=F(x0)=x0·ex-lnx0-x0-1.

又G(x0)=0,所以x0·ex0-1=0，lnx0+x0=0,所以F(x)min=F(x0)=0.

故g(x)≥f(x).

評(píng)注要證g(x)≥f(x)，即證F(x)=g(x)-f(x)≥0，只須證F(x)min≥0，故對(duì)F(x)求導(dǎo)，研究其單調(diào)性.令F′(x)=0，得x·ex-1=0，這是個(gè)超越方程，無(wú)法直接求出該方程的解，通過(guò)零點(diǎn)存在性定理證明零點(diǎn)是存在的，再利用隱零點(diǎn)問(wèn)題處理方法進(jìn)行求解，從而破解本題難點(diǎn).一般地，證明不等式成立，常構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為最值大于(小于)等于0.

解法二要證g(x)≥f(x)，只須證x·ex≥lnx+x+1.

易證ex≥1+x，所以x·ex=elnx·ex=elnx+x≥lnx+x+1，得證.

評(píng)注證明含有l(wèi)nx與ex的不等關(guān)系，常利用不等式“ex≥1+x”及“l(fā)n(1+x)≤x”.進(jìn)行放縮，實(shí)現(xiàn)“超越式”到“非超越式”的轉(zhuǎn)化.

三、高考鏈接

(1)求a,b；(2)證明：f(x)>1.

四、變式拓展

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

解(1)函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+∞)上單調(diào)遞減.(過(guò)程略)

評(píng)注對(duì)于含有l(wèi)nx與ex型的超越函數(shù)，具體解決時(shí)須根據(jù)兩類函數(shù)的特點(diǎn)，挖掘結(jié)構(gòu)特征，靈活變形，腦中有“形”，注意重要不等式lnx≤x-1與ex≥x+1的合理代換.

五、總結(jié)提升

指數(shù)對(duì)數(shù)組合型的函數(shù)不等式問(wèn)題，常用的解題方法有三種：一是指數(shù)對(duì)數(shù)分離并向易于求最值的常用函數(shù)轉(zhuǎn)化；二是利用放縮消掉指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)之一，再進(jìn)行處理；三是隱零點(diǎn)法.對(duì)于具體問(wèn)題，可根據(jù)函數(shù)特征具體分析，選擇合適方法求解.