多角度求解山東省高考21題

蘇凡文

(山東省泰安寧陽(yáng)一中 271400)

(山東省高考21)已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna.

(1)當(dāng)a=e時(shí)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；

(2)若f(x)≥1，求a的取值范圍.

解析(2)方法一：變換主元

由題意可得a>0.

①a≥1時(shí)，g(a)=aex-1-lnx+lna，因?yàn)閑x-1>0，lna≥0，所以g(a)≥ex-1-lnx.易證ex-1≥x，所以ex-1-lnx≥x-lnx，易證得x-lnx≥1.所以f(x)≥1.

綜上可得a≥1.

方法二：放縮法

由題意可得a>0.

易證明ex-1≥x成立，所以f(x)≥ax-lnx+lna.

0

綜上可得a≥1.

方法三：必要性開路(一)

其中，W為生產(chǎn)線平衡率，ti為第i工序循環(huán)時(shí)間，si為第i工位定員數(shù)，t0為流水線線節(jié)拍TT，a為流水線定員數(shù)。經(jīng)計(jì)算得出，生產(chǎn)線平衡率W=52%，說明該生產(chǎn)線平衡率需要進(jìn)行極大地改善。

由題意可得a>0.

綜上可得a≥1.

必要性開路(二)

a=1時(shí)，f(x)=ex-1-lnx，易證ex-1≥x，所以f(x)≥x-lnx，易證x-lnx≥1，所以f(x)≥1成立.

綜上可得a≥1.

方法四：同構(gòu)函數(shù)