差異分析巧妙轉(zhuǎn)化
——一道小題解題思路的探求

方仕友 王寶泉

(江蘇省濱海中學(xué) 224500)

數(shù)學(xué)解題的過程可以看成是消除問題條件與解題目標(biāo)之間的差異、消除所求解的問題與已知問題(已有知識(shí))之間的差異的過程.為此，需要我們先找出差異，接下來，尋求二者之間的聯(lián)系，在它們中間搭上一條解題的通道或者將所求解的問題轉(zhuǎn)化為已知的問題從而解決它.這就需要我們針對(duì)具體的問題，不斷地變換思維的視覺，縱橫聯(lián)系知識(shí)體系，全方位多角度地思考問題，以便“尋找差異、發(fā)現(xiàn)差異、消除差異”的解題方案快速形成.下面由一道小題來看數(shù)學(xué)解題思路探求中，如何應(yīng)用“差異分析”，巧妙轉(zhuǎn)化，形成解題的路徑.

例若正數(shù)x,y滿足x2+3xy=1，則x+y的最小值為____.

分析一注意到已知等式與要求最值的式中均含有兩個(gè)變量x,y，與常見的一個(gè)變量的差異.可以考慮轉(zhuǎn)化為一元最值問題.本題中的已知條件為關(guān)于x,y的等式，可以利用.于是有下面的解法一.

分析二等式x2+3xy=1為二次式，且為定值，欲求最值的x+y為一次式.與常有的“正數(shù)a,b滿足ab=1，求a+b的最小值”類似.通過因式分解，嘗試轉(zhuǎn)化為基本不等式的應(yīng)用問題.如下的解法二.

解法二因?yàn)閤,y為正數(shù)，所以x+3y>0.

分析三注意到等式x2+3xy=1為二次式，且為定值，欲求最值的x+y為一次式.通過平方，消除兩者間的差異，得到兩個(gè)二次式.利用齊次式的關(guān)系及換元將問題轉(zhuǎn)化為一元最值問題.利用導(dǎo)數(shù)求最值.

當(dāng)1

當(dāng)z>2時(shí)，g′(z)>0，g(z)單調(diào)遞增.

分析五注意到已知等式與要求最值的式中均含有兩個(gè)變量x,y，與解析幾何中的直線與圓等二次曲線的位置關(guān)系問題的特點(diǎn)，以及方程組有解的要求，可以將其轉(zhuǎn)化為方程組有解的問題.如下面的解法五.

消去y得，2x2-3tx+1=0有正數(shù)解.

由上面的分析與解法來看，數(shù)學(xué)解題分析的關(guān)鍵在于尋找差異、發(fā)現(xiàn)差異、合乎情理地分析差異、消除差異.