集合問題求解中的“核心素養(yǎng)”

劉存德

借助集合概念的形成和集合工具性的應(yīng)用，可以培養(yǎng)同學(xué)們數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等核心素養(yǎng)。

一、集合基本概念形成中的“素養(yǎng)”

素養(yǎng)：研究一個(gè)集合，首先要看集合中的代表元素，然后看元素的限制條件。根據(jù)限制條件求參數(shù)的值或確定集合中元素的個(gè)數(shù)，要注意檢驗(yàn)集合是否滿足元素的互異性。

二、集合基本關(guān)系探究中的“素養(yǎng)”

例2已知集合A={x|-1＜x＜3}，B={x|-m＜x＜m}，若B?A，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為( )。

A.(-∞，1] B.(-∞，3]

C.[-1，+∞) D.(0，1]

解：當(dāng)-m≥m，即m≤0 時(shí)，B=?，顯然B?A。

當(dāng)m＞0時(shí)，利用B?A，在數(shù)軸上畫出兩個(gè)集合，如圖1所示。

圖1

綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍為(-∞，1]。應(yīng)選A。

素養(yǎng)：判斷集合之間的關(guān)系，要注意先對(duì)集合進(jìn)行化簡，再進(jìn)行判斷，并且在描述關(guān)系時(shí)，要盡量精確。已知兩個(gè)集合之間的關(guān)系求參數(shù)，關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點(diǎn)間的關(guān)系(要注意區(qū)間端點(diǎn)的取舍)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)所滿足的關(guān)系，常用數(shù)軸、Venn圖等來直觀求解。在涉及集合關(guān)系時(shí)，必須優(yōu)先考慮空集的情況，否則會(huì)造成漏解。

三、集合運(yùn)算求解中的“素養(yǎng)”

例3設(shè)全集U=R，集合A={x|-3＜x＜1}，B={x|x+1≥0}，則?U(A∪B)=( )。

A.{x|x≤-3或x≥1}

B.{x|x＜-1或x≥3}

C.{x|x≤3}

D.{x|x≤-3}

解：因?yàn)榧螧={x|x≥-1}，A={x|-3＜x＜1}，所以A∪B={x|x＞-3}，所以?U(A∪B)={x|x≤-3}。應(yīng)選D。

素養(yǎng)：對(duì)于集合的交、并、補(bǔ)集運(yùn)算，要從集合中元素的構(gòu)成入手，先化簡集合再進(jìn)行運(yùn)算，有時(shí)借助數(shù)軸、坐標(biāo)系或Venn圖可使問題簡單化。

四、利用集合的概念及運(yùn)算求參數(shù)中的“素養(yǎng)”

②當(dāng)B=?，由Δ＜0，解得a＜-1。

綜上所述，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞，-1]∪{1}。

素養(yǎng)：利用集合的運(yùn)算求參數(shù)，一般先利用觀察得到不同集合中元素之間的關(guān)系，再列方程(組)求解。在求出參數(shù)后，要注意結(jié)果的驗(yàn)證(滿足集合元素的互異性)。

五、集合新定義求解中的“素養(yǎng)”

解：依據(jù)題設(shè)運(yùn)算和16 為偶數(shù)，可得集合M={(a，b)|a*b=16，a∈N*，b∈N*}={(1，16)，(2，8)，(16，1)，(8，2)，(1，15)，(15，1)，(3，13)，(13，3)，(7，9)，(9，7)}，共有12個(gè)元素，其真子集個(gè)數(shù)為212-1。應(yīng)選C。

素養(yǎng)：對(duì)于新定義的集合問題，要認(rèn)真閱讀題意，理解新定義的含義，利用新定義將集合問題轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系或集合的有關(guān)運(yùn)算，或直接利用新定義對(duì)問題求解。