函數(shù)的單調(diào)性快樂導(dǎo)學(xué)

孫建國(guó)

函數(shù)的單調(diào)性作為函數(shù)的基本性質(zhì)之一，在高中數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，因此，牢固掌握函數(shù)的單調(diào)性這一知識(shí)點(diǎn)十分重要。那么如何才能學(xué)好函數(shù)的單調(diào)性呢? 同學(xué)們應(yīng)注意下面四個(gè)問題。

一、注意對(duì)函數(shù)單調(diào)性定義的正確理解

1.增函數(shù)、減函數(shù)是相對(duì)于相應(yīng)區(qū)間而言的，有的函數(shù)在一些區(qū)間上是增函數(shù)，而在另一些區(qū)間上不是增函數(shù)。離開相應(yīng)區(qū)間就根本談不上增減性。如函數(shù)f(x)=x2，在區(qū)間(-∞，0]上是減函數(shù)，而在區(qū)間[0，+∞)上是增函數(shù)，所以不能說f(x)=x2是增函數(shù)或減函數(shù)。因此，判斷某個(gè)函數(shù)的增減性時(shí)，必須標(biāo)明所在的區(qū)間。

2.一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，不能由特定的兩個(gè)點(diǎn)來判斷，必須嚴(yán)格依據(jù)定義：在給定區(qū)間內(nèi)任取x1，x2，根據(jù)它們的函數(shù)值f(x1)和f(x2)的大小來判斷其增減性。反之，若已知函數(shù)f(x)在某個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就可以通過自變量的大小去判斷函數(shù)值的大小，也可以由函數(shù)值的大小去判斷自變量的大小。如函數(shù)f(x)=x2在區(qū)間[-2，2]上，取兩個(gè)特定的值x1=-2，x2=1，x1＜x2，而f(x1)=4，f(x2)=1，則f(x1)＞f(x2)。若由此判斷f(x)=x2在區(qū)間[-2，2]上是減函數(shù)那就錯(cuò)了。

二、注意函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間的區(qū)別與聯(lián)系

若函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，則函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，這一區(qū)間叫作函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間，此時(shí)也說函數(shù)是這一區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)。在單調(diào)區(qū)間上，增函數(shù)的圖像從左到右是上升的，減函數(shù)的圖像從左到右是下降的。一個(gè)函數(shù)有單調(diào)區(qū)間，并不能說明它在定義域內(nèi)單調(diào)，因?yàn)楹瘮?shù)的單調(diào)區(qū)間是其定義域的子集。一個(gè)函數(shù)在定義域內(nèi)具有單調(diào)性，那么定義域就是它的單調(diào)區(qū)間。

三、注意函數(shù)單調(diào)性定義的“雙向”應(yīng)用

所謂“雙向”應(yīng)用，就是指“順用”與“逆用”。函數(shù)單調(diào)性的“順用”，主要是利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)是否單調(diào)、比較函數(shù)值的大小、求函數(shù)的值域等。而函數(shù)單調(diào)性的“逆用”往往被忽視，我們應(yīng)加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練，從而加深對(duì)函數(shù)單調(diào)性的理解。

四、注意函數(shù)單調(diào)性與不等式的聯(lián)系

函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)，它和不等式密不可分，它的核心也包含不等式的恒成立問題，即對(duì)函數(shù)定義域內(nèi)的任意的x1，x2，不 等 式f x1( )＜f x2( )或f x1( ) ＞f x2( )恒成立。當(dāng)已知函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，可以從定義出發(fā)，將函數(shù)在指定區(qū)間上的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立問題，從而可以通過分離參數(shù)求最值的方法來得到參數(shù)的取值范圍。