正確理解函數(shù)的概念

俞 飛

函數(shù)是高中數(shù)學的入門知識，是初中數(shù)學與高中數(shù)學的一個轉(zhuǎn)折點。由于函數(shù)的概念抽象，因此同學們學習起來比較困難，甚至會產(chǎn)生一些錯誤的認識。為了使同學們正確理解函數(shù)的概念，需要澄清對函數(shù)概念的一些錯誤認識，下面舉例說明。

例1 函數(shù)y=f(x-1)中的自變量是x還是x-1?

解：函數(shù)y=f(x-1)中的自變量是x。如f(x)=x2-1，則f(x-1)=(x-1)2-1，即f(x-1)=x2-2x，顯然函數(shù)f(x-1)中的自變量是x，而不是x-1。一般地，復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]的自變量都是x，而不是g(x)。

例3 已知f(x+1)=x2-2x，求f(x)時，作變量代換t=x+1，得f(t)=t-1( )2-2t-1( )=t2-4t+3，故f(x)=x2-4x+3。這里為什么能將t換成x?

解：我們知道，當且僅當兩個函數(shù)的三要素相同時，兩個函數(shù)是同一函數(shù)。函數(shù)f(t)=t2-4t+3與f(x)=x2-4x+3的三要素都相同，它們是同一個函數(shù)，所以能將f(t)=t2-4t+3 中的t換成x。本題實際上是求函數(shù)的對應(yīng)法則，它與表示自變量的字母無關(guān)。

例4 函數(shù)f(x)=x，x∈0，1{}與函數(shù)g(x)=x2，x∈0，1{ }是不是相同的函數(shù)?

解：有些同學可能認為這兩個函數(shù)對應(yīng)法則不同，因此是不同的函數(shù)。這種認識是錯誤的。對應(yīng)法則是否相同不能從形式上看，那么怎樣判斷兩個函數(shù)的對應(yīng)法則是否相同呢?

一般地，兩個函數(shù)f(x)，g(x)的定義域相同(設(shè)為D)，對應(yīng)法則f與g相同?對任意的x∈D，都有f(x)=g(x)。據(jù)此可以判斷函數(shù)f(x)=x，x∈0，1{}與函數(shù)g(x)=x2，x∈0，1{ }的對應(yīng)法則相同，因此它們是相同的函數(shù)。

例6 將函數(shù)y=f(-2x-1)的圖像向左平移1 個單位所得圖像的解析式是y=f(-2x)嗎?