初中數(shù)學(xué)思維可視化教學(xué)課例設(shè)計(jì)

石長虹

摘 要：可視化技術(shù)是一種計(jì)算與處理方法，能將抽象的數(shù)據(jù)和符號(hào)關(guān)系變成具體的、直觀化的關(guān)系。在數(shù)學(xué)中引入可視化技術(shù)，將原本不可見的思維用圖示的方式清晰地呈現(xiàn)出來，讓學(xué)生能親眼所見模擬和計(jì)算的過程，實(shí)現(xiàn)對信息的可視化、數(shù)據(jù)的可視化、計(jì)算的可視化和隱性思維的顯性化，加快了學(xué)生對知識(shí)的獲取和吸收，提高了課堂的教學(xué)效率。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思維;可視化;初中課堂;教學(xué)策略

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】B 【文章編號(hào)】1008-1216（2020）06C-0067-02

恩格斯說：“一個(gè)民族想要站在科學(xué)的最高峰，就一刻也不能沒有理論思維。”與知識(shí)學(xué)習(xí)相比，思維能力的發(fā)展并不是一個(gè)自然的過程，而是要經(jīng)過專門的培養(yǎng)和訓(xùn)練，因此，素質(zhì)教育背景下的教學(xué)改革強(qiáng)烈呼喚“思維教育”。數(shù)學(xué)是一門思維性和邏輯性極強(qiáng)的學(xué)科，數(shù)學(xué)教育的目的不僅是讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，更為重要的是發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，讓學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思維來分析問題和解決問題，為學(xué)生提供一種學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的新方法。

一、抽象思維可視化

數(shù)學(xué)抽象思維是以數(shù)學(xué)概念為思維材料，通過數(shù)學(xué)判斷、推理的形成來反映數(shù)學(xué)本質(zhì)，揭示數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系。抽象思維是對已獲得的數(shù)學(xué)事實(shí)進(jìn)行加工處理，從中抽離出數(shù)學(xué)本質(zhì)特征的過程。抽象思維可視化，是利用圖示的方式將數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)規(guī)律、概念與規(guī)律之間的因果關(guān)系、思維的邏輯及順序表達(dá)出來。如果說數(shù)學(xué)概念是“點(diǎn)”，數(shù)學(xué)思維過程是“線”，那么，諸多的“點(diǎn)”與“線”結(jié)合起來，就形成了一個(gè)整體，從而表現(xiàn)出數(shù)學(xué)的本質(zhì)。在抽象思維可視化的過程中，學(xué)生可根據(jù)自己的想法對其進(jìn)行靈活改變，達(dá)到與自己思維相匹配的狀態(tài)。

數(shù)學(xué)概念反映的是現(xiàn)實(shí)對象的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)特征，是學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)推理和證明之本，扎實(shí)掌握數(shù)學(xué)概念，能提高運(yùn)算技能和問題解決能力。實(shí)現(xiàn)思維可視化，有助于學(xué)生記憶并靈活運(yùn)用。

以菱形概念教學(xué)為例。菱形是學(xué)生在學(xué)習(xí)平行四邊形之后，要掌握的一種特殊的平行四邊形。本節(jié)課教學(xué)重難點(diǎn)是菱形的性質(zhì)及判定方法理解。由于菱形和矩形都屬于特殊的平行四邊形，所以它們都具有平行四邊形的性質(zhì)。在研究菱形時(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)生從平行四邊形入手，對菱形和矩形所具有的特征進(jìn)行判定，實(shí)現(xiàn)對原有知識(shí)的同化，強(qiáng)化對菱形知識(shí)的理解。為此，我們根據(jù)平行四邊形與矩形、菱形的從屬關(guān)系，采用可視化技術(shù)，利用表格將矩形的知識(shí)點(diǎn)研究策略和菱形進(jìn)行對比，如下表所示。

表? 菱形研究思維的可視化

任何知識(shí)都有它的本源。學(xué)生在表格中內(nèi)容的引導(dǎo)下，以小組為單位，進(jìn)行自主探究，有利于培養(yǎng)學(xué)生的自主性。這樣將菱形的性質(zhì)及判定方法（三個(gè)方面：邊、角和線）進(jìn)行總結(jié)和類比，清晰直觀、簡單完整，不僅將菱形概念中最核心的內(nèi)容簡明扼要地表達(dá)出來了，而且通過上、下位知識(shí)的聯(lián)系，能讓知識(shí)體系更具有連貫性。此外，通過對比，可幫助學(xué)生將矩形的判斷方法遷移到菱形的判定中，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移和運(yùn)用。

二、形象思維可視化

數(shù)學(xué)形象思維是以數(shù)學(xué)表象為思維材料，以觀察、猜想、比較、類比、聯(lián)想的形式，對形象材料的意識(shí)加工而得到領(lǐng)悟的一種思維方式。通過教學(xué)實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中數(shù)學(xué)表象儲(chǔ)備少，知識(shí)零散，且缺乏聯(lián)想意識(shí)。造成這種現(xiàn)象的原因是學(xué)生形象思維能力的欠缺，及部分教師在教學(xué)中忽視了直觀演示的作用，學(xué)生無法對知識(shí)點(diǎn)形成相對透徹的理解，難以構(gòu)成一張清晰的數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。

形象思維可視化是將以語言描述的數(shù)學(xué)情景或以符號(hào)表達(dá)的數(shù)學(xué)公式，形象地轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)圖形進(jìn)行的思索。由于相比于抽象思維，想象思維更具有動(dòng)態(tài)性和直觀性，有利于學(xué)生理解和深化知識(shí)。

以二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）性質(zhì)教學(xué)為例。教師用幾何畫板演示，學(xué)生觀察，當(dāng)改變a的大小時(shí)，拋物線開口大小隨之變化，當(dāng)a的符號(hào)改變時(shí)，拋物線的開口方向隨之改變。當(dāng)a=0時(shí)，圖象變?yōu)橐粭l直線，不再是拋物線，所以二次函數(shù)a≠0。那么當(dāng)b=0或c=0時(shí)，函數(shù)圖象又有什么變化呢？一位學(xué)生在講臺(tái)上用幾何畫板進(jìn)行演示，其余學(xué)生在觀察的同時(shí)，驗(yàn)證自己的猜想。結(jié)果發(fā)現(xiàn)當(dāng)b=0，拋物線關(guān)于y軸對稱;當(dāng)c=0時(shí)，拋物線經(jīng)過原點(diǎn);當(dāng)b=0且c=0，拋物線經(jīng)過原點(diǎn)且關(guān)于y軸對稱。這樣通過該階段的動(dòng)態(tài)演示，學(xué)生了解了二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)不能為零，以及各個(gè)參數(shù)變化時(shí)拋物線大小、開口的變化情況。那么，y=ax2、y=a（x+m）2與y=a（x+m）2+k有什么區(qū)別和聯(lián)系呢？

首先分析y=ax2和y=a（x+m）2，取m=2時(shí)，利用幾何畫板分別畫出二次函數(shù)y1=ax2和y2=a（x+2）2的圖象，發(fā)現(xiàn)：兩條拋物線開口相同、形狀相同，只是位置不同。在y1=ax2上取一點(diǎn)P，再在y2=a（x+2）2上找到P點(diǎn)對應(yīng)的Q，計(jì)算P和Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，接著讓P點(diǎn)在y1上進(jìn)行運(yùn)動(dòng)，帶動(dòng)Q點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，學(xué)生通過觀察發(fā)現(xiàn)，兩點(diǎn)坐標(biāo)無論如何變化，其橫坐標(biāo)差都是2，縱坐標(biāo)相同。也就是y2=a（x+2）2圖象可看作是y1=ax2向左平移2個(gè)單位得到的。類似的當(dāng)取m=-2時(shí)， y2=a（x-2）2圖象可看作是y1=ax2向右平移2個(gè)單位得到。

通過剛才的演示，學(xué)生已經(jīng)掌握了圖象性質(zhì)的分析方法，于是讓學(xué)生以小組為單位，自主的探究y=a（x+m）2和y=a（x+m）2+k、 y=ax2和y=a（x+m）2+k的區(qū)別和聯(lián)系。利用幾何畫板，讓學(xué)生直觀觀察到二次函數(shù)圖象的動(dòng)態(tài)變化過程，獲得生動(dòng)的數(shù)學(xué)形象，簡潔明了、一目了然，學(xué)生的數(shù)學(xué)形象思維能力得到了有效的訓(xùn)練。

三、直覺思維可視化

偉大數(shù)學(xué)家彭加勒曾說：“邏輯用于證明，直覺用于發(fā)明。”數(shù)學(xué)直覺思維是以數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)表面結(jié)合而成，以豐富的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)的結(jié)構(gòu)為依據(jù)，對思維對象從整體上進(jìn)行考查，不借助于數(shù)學(xué)邏輯推理而僅憑感知、想象去作出猜想和判斷，它是一種思路簡單化的思維方式，以高度簡練的方式洞察事物的本質(zhì)，省去了一步一步分析推理的中間環(huán)節(jié)。將直覺思維可視化，是在腦海中經(jīng)過抽象思維后有了數(shù)學(xué)模型，又經(jīng)過形象思維形成數(shù)學(xué)模型的過程。學(xué)生在看到另一個(gè)數(shù)學(xué)題目后，能迅速地聯(lián)想到這個(gè)數(shù)學(xué)模型并靈活運(yùn)用進(jìn)行解題，從而實(shí)現(xiàn)知識(shí)的有效遷移。

以平面內(nèi)n條直線最多能把平面分成幾個(gè)部分教學(xué)為例。

分析：這道題目乍一看非常抽象，大部分學(xué)生感覺沒有頭緒。但仔細(xì)分析題目后，就會(huì)發(fā)現(xiàn)與我們曾經(jīng)學(xué)習(xí)過的問題比較像。從1條直線開始，如圖1所示，平面被分成2個(gè)部分;圖2中，2條直線，相交于1個(gè)交點(diǎn)，將平面分為4個(gè)部分;圖3中，3條直線，相交于3個(gè)交點(diǎn)，平面分為7個(gè)部分;圖4中，4條直線，相交于6個(gè)交點(diǎn)，將平面分為11個(gè)部分;圖5中，5條直線，相交于10個(gè)交點(diǎn)，將平面分為16個(gè)部分。這樣問題就變得很顯性化了。

我們結(jié)合圖形開始尋找規(guī)律，從圖1到圖2，發(fā)現(xiàn)直線的交點(diǎn)多1個(gè)，平面就會(huì)被多分成2個(gè)部分，即交點(diǎn)數(shù)從1→2，平面被分成2→2+2部分;從圖2到圖3，交點(diǎn)數(shù)從2→3，平面被分成（2+2）→（2+2）+3部分。以此類推，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，平面中直線相交每增加k個(gè)交點(diǎn)，平面就會(huì)被多分成（k+1）個(gè)部分。所以，平面內(nèi)n條直線最多可以將平面分為： 2+2+3+4+5+…+n=2+2+3+4+5+…n=1n（n+1）/2+個(gè)部分。

可見，在數(shù)學(xué)習(xí)題訓(xùn)練時(shí)，教師的責(zé)任并不僅向?qū)W生講解題的步驟和答案，更為重要的是將數(shù)學(xué)題目中的基本模型給學(xué)生講清楚，使其能深深根植于學(xué)生的腦海中，這樣，當(dāng)學(xué)生再次遇到類似的題目就能迅速地想到對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，當(dāng)學(xué)生所積累的數(shù)學(xué)模型越來越多，在進(jìn)行數(shù)學(xué)解題時(shí)，就越容易作出直覺判斷。所以，從某種意義上來說，直覺思維的可視化是抽象思維和形象思維可視化融合后產(chǎn)生的飛躍。

四、結(jié)束語

總之，初中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)繁多且靈活性較強(qiáng)，借助思維導(dǎo)圖、表格、流程圖等技術(shù)實(shí)現(xiàn)思維可視化，可以讓學(xué)生更加輕松直觀記憶，理解各知識(shí)點(diǎn)間的內(nèi)在聯(lián)系，不僅有利于鍛煉學(xué)生的遷移能力和思維拓展能力，也為學(xué)生將來解決問題提供了有效的解決方法，促使學(xué)生的邏輯思維發(fā)展更為完善。

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