初中數(shù)學(xué)教師推理教學(xué)信念的個(gè)案分析*

杜宵豐 趙家鋒 周達(dá) 劉堅(jiān)

摘? ?要? ?各個(gè)國(guó)家和地區(qū)的學(xué)校教育都面臨數(shù)學(xué)推理教學(xué)難的問(wèn)題。本研究運(yùn)用質(zhì)性研究方法，通過(guò)對(duì)一位初中數(shù)學(xué)教師的訪談，嘗試對(duì)其數(shù)學(xué)推理教與學(xué)的觀念進(jìn)行深入探討和分析。研究表明，數(shù)學(xué)推理的教與學(xué)應(yīng)讓學(xué)生體驗(yàn)推理的生成過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的“反權(quán)威”意識(shí)，營(yíng)造猜想-證明的課堂情境。

關(guān)鍵詞? ?推理? 觀念? 教師? 教學(xué)? 學(xué)習(xí)

一、研究背景

數(shù)學(xué)推理是“做”數(shù)學(xué)的核心。一方面推理的過(guò)程代表了通過(guò)舊知識(shí)獲得新知識(shí)的有效途徑，另一方面推理中所涉及的不同概念與原理之間的相互關(guān)系，發(fā)展了人們對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解。近年來(lái)不同國(guó)家和地區(qū)的數(shù)學(xué)教育均重視數(shù)學(xué)推理的課程編排[1]。尤其是在美國(guó)，學(xué)校數(shù)學(xué)教育原則和標(biāo)準(zhǔn)以及州共同核心數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的發(fā)布都顯著提升了推理在學(xué)校數(shù)學(xué)中的地位，將其作為K-12年級(jí)數(shù)學(xué)教育的一條學(xué)習(xí)主線[2-3]。盡管數(shù)學(xué)推理日益受到人們的重視，但來(lái)自不同國(guó)家和地區(qū)的研究表明，中學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力存在諸多不足[4-6]，而教師卻普遍面臨數(shù)學(xué)推理難教的窘境[7]。因此需要更多的實(shí)證研究來(lái)提高推理在課堂中的作用，探索如何支持教師的教學(xué)工作才能有效發(fā)展學(xué)生的推理能力[8]。在我國(guó)，自1951年《中學(xué)數(shù)學(xué)科課程標(biāo)準(zhǔn)（草案）》首次提出“培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納、判斷、推理等科學(xué)習(xí)慣”[9]，到2012年《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確將推理能力作為數(shù)學(xué)課程的十個(gè)核心詞之一，并指出義務(wù)教育階段要引導(dǎo)學(xué)生積極參與觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明、綜合實(shí)踐等數(shù)學(xué)活動(dòng)，注重學(xué)生思考的條理性，而不過(guò)分強(qiáng)調(diào)推理的形式[10]。半個(gè)多世紀(jì)的課程變革對(duì)推理內(nèi)容的要求不斷發(fā)展和完善，以往的數(shù)學(xué)推理教學(xué)觀念隨著課改的逐步深入正在被新的教學(xué)觀念所替代，那么當(dāng)下初中數(shù)學(xué)教師的推理教學(xué)觀念實(shí)際情況到底是怎樣的，引發(fā)了研究者的深入思考。

二、研究方法

本研究是一項(xiàng)個(gè)案研究，通過(guò)現(xiàn)場(chǎng)訪談收集了一位初中數(shù)學(xué)教師推理教學(xué)與學(xué)習(xí)觀念的質(zhì)性數(shù)據(jù)，嘗試揭示其在數(shù)學(xué)推理教學(xué)實(shí)踐上的潛在特質(zhì)。

1.研究對(duì)象的選擇

我國(guó)H市515名初中數(shù)學(xué)教師參與了北京師范大學(xué)區(qū)域監(jiān)測(cè)項(xiàng)目中有關(guān)數(shù)學(xué)推理知識(shí)的問(wèn)卷調(diào)查，49 658名八年級(jí)學(xué)生參加了有關(guān)數(shù)學(xué)推理的能力測(cè)試。通過(guò)數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，H市W中學(xué)的學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力得分很高，并且該校教師的數(shù)學(xué)推理知識(shí)掌握扎實(shí)（已有研究指出教師的數(shù)學(xué)推理知識(shí)是影響其推理教學(xué)的一個(gè)關(guān)鍵因素[11]）。因此，研究者在地方教研員的幫助下，選擇了該校一位具有近20年教齡的數(shù)學(xué)女教師（簡(jiǎn)稱L老師）作為深度訪談的對(duì)象。

2.資料收集

研究采用半結(jié)構(gòu)式訪談的方式來(lái)收集信息，因?yàn)榘虢Y(jié)構(gòu)式訪談比結(jié)構(gòu)式訪談能收集到更廣泛的資料。訪談前，研究者根據(jù)研究目的與已有研究中的訪談工具[12]，事先設(shè)計(jì)出訪談提綱作為訪談的提示。訪談依托于提綱，但又不局限于提綱，只要在本研究的主題范圍內(nèi)，研究者都會(huì)允許對(duì)方自由暢言。研究采用直接訪談的方式，也就是面對(duì)面訪談，地點(diǎn)選擇在L老師所在學(xué)校的會(huì)議室進(jìn)行，以便錄音和現(xiàn)場(chǎng)記錄。

3.資料分析

首先，依據(jù)訪談問(wèn)題中的推理教學(xué)與學(xué)習(xí)這兩個(gè)方面進(jìn)行初步歸類，但在分析過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)教師在談到教學(xué)時(shí)也會(huì)涉及學(xué)生學(xué)習(xí)的相關(guān)內(nèi)容，二者混在一起，因此將教師教與學(xué)兩方面的觀念進(jìn)行合并，統(tǒng)稱為教師的推理教學(xué)與學(xué)習(xí)觀念。其次，將原始材料按照不同的、有意義的主題切割成小的段落，即分析單位，再根據(jù)分析單位的前后順序以阿拉伯?dāng)?shù)字依次編號(hào)，比如編碼L-6表示L老師的第6個(gè)分析單位。最后，將材料編碼后，根據(jù)各分析單位中的核心字詞進(jìn)行分類，經(jīng)過(guò)取舍和修改后逐漸形成分析主題，并最終完成數(shù)據(jù)分析。

三、結(jié)果與分析

關(guān)于L老師的數(shù)學(xué)推理教學(xué)與學(xué)習(xí)觀念，她首先強(qiáng)調(diào)了課上與課下學(xué)習(xí)相結(jié)合，以此拓展學(xué)生數(shù)學(xué)推理的學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)。

“我每天布置的作業(yè)并不多，不想給學(xué)生造成太多的課業(yè)負(fù)擔(dān)，但我很重視學(xué)生課下學(xué)習(xí)的情況。課下學(xué)習(xí)不是讓學(xué)生死記硬背地去掌握一些解題技巧，而是調(diào)動(dòng)學(xué)生去探索某種問(wèn)題背后的思想方法，內(nèi)容本身不局限在已經(jīng)學(xué)過(guò)的內(nèi)容里，可能涉及新內(nèi)容，或一些生活素材，因此學(xué)生需要自己去查閱一些資料才能得出答案（L-3）。”同時(shí)，“允許學(xué)生采用自己喜歡的方式去呈現(xiàn)探索的結(jié)果，可以采用紙筆畫圖、具體例子等多種表達(dá)形式（L-5）。這樣在課堂上學(xué)生也會(huì)有更多的時(shí)間進(jìn)行小組或班級(jí)的互動(dòng)與交流，因?yàn)檎n堂時(shí)間緊張一直是我們老師面對(duì)的一個(gè)老大難問(wèn)題（L-6）。”

由上可以看出，L老師充分利用學(xué)生在課下的學(xué)習(xí)時(shí)間，以彌補(bǔ)課上學(xué)習(xí)時(shí)間的緊張。其中L老師提到了學(xué)生對(duì)推理的獨(dú)立探究，以及與大家互動(dòng)交流這兩個(gè)重要的方面，所以研究者就這兩個(gè)方面對(duì)L老師進(jìn)行了連續(xù)追問(wèn)，發(fā)現(xiàn)L老師在推理教學(xué)上的兩個(gè)重要觀點(diǎn)。

一個(gè)觀點(diǎn)是L老師認(rèn)為個(gè)體的獨(dú)立推斷至關(guān)重要，即學(xué)生通過(guò)自己的努力尋找證據(jù)，推理出所有的核心結(jié)論。

“在日常教學(xué)中，我通常呈現(xiàn)給學(xué)生正確未知的命題，在這種不確定的情況下，引導(dǎo)學(xué)生做出猜測(cè)，激發(fā)他們學(xué)習(xí)的積極性（L-8）。我一般不會(huì)直接在黑板上板書完整的推理過(guò)程，不著急為學(xué)生提供標(biāo)準(zhǔn)答案，因?yàn)橥评硎庆`活多變的，它沒(méi)有固定的解題套路，所以我覺(jué)得推理的學(xué)習(xí)不能以老師教為主，要讓學(xué)生自己主動(dòng)去嘗試、去體會(huì)、去思考（L-10）。當(dāng)班里的學(xué)生從各自不同的角度摸索出推理思路時(shí)，我的任務(wù)就是及時(shí)‘扶正學(xué)生的思考方向，根據(jù)不同學(xué)生的表現(xiàn)點(diǎn)出他們合理的地方和不合理的地方，了解學(xué)生的真實(shí)想法，再進(jìn)一步拓展他們的想法（L-15）。”

另一個(gè)觀點(diǎn)是L老師注重個(gè)體與個(gè)體間的合作推理，即多個(gè)學(xué)生通過(guò)討論與互動(dòng)共同構(gòu)思推理的過(guò)程，在交互行為的作用下改善推理方案。

“面對(duì)比較難的推理題，學(xué)生往往出現(xiàn)思維混亂的情況，比如搞不清楚其中的因果關(guān)系（L-26）。根據(jù)條件可能會(huì)得到很多推論，但這些推論對(duì)解決問(wèn)題不一定都有用，如何選出有用的推論，并將它們連貫地組織起來(lái)，這是教學(xué)難點(diǎn)（L-28）。在我的班上一般將學(xué)生分為4人左右的學(xué)習(xí)小組，由學(xué)習(xí)好的學(xué)生擔(dān)任小組長(zhǎng)，對(duì)小組合作起到帶動(dòng)作用（L-29）。有時(shí)我會(huì)提出小組討論的問(wèn)題，有時(shí)是各小組提出討論問(wèn)題（L-33）。通過(guò)小組互動(dòng)的合作學(xué)習(xí)，學(xué)生的想法可能會(huì)受到他人影響，也可能會(huì)影響他人，學(xué)生之間相互交流和啟發(fā)，在合作解決問(wèn)題中逐漸知道好的推理方法是什么，自己的思路又有哪些不足。久而久之，學(xué)生的語(yǔ)言表達(dá)和推理技巧都會(huì)得到提高（L-34）。”

顯然，L老師的推理教學(xué)表現(xiàn)出個(gè)體與社群的雙重性。但L老師進(jìn)一步指出學(xué)生個(gè)體或小組在得到結(jié)果后，常常依賴教師等外部權(quán)威去確定推理的有效性，這與Harel和Sowder（1998）的研究發(fā)現(xiàn)一致，即學(xué)生會(huì)質(zhì)疑自己已經(jīng)證明出來(lái)的結(jié)論，直到有權(quán)威人士告訴他們推理是正確的，他們才能夠信服[13]。因此在課堂教學(xué)中，L老師著重強(qiáng)化了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)推理的理解和批判，即重視對(duì)推理方法本身的辯護(hù)。

“我在班上時(shí)，經(jīng)常有學(xué)生找我確認(rèn)他們的答案是否正確。在很多情況下，他們的解答完全沒(méi)有問(wèn)題，在和他們的討論中，我發(fā)現(xiàn)他們明明做對(duì)了，但只有得到我的認(rèn)可，他們才會(huì)結(jié)束這道題的思考，再去想其他題目（L-46）。為了改善這種情況，在課堂上當(dāng)有學(xué)生表述自己的思路時(shí)，我有時(shí)會(huì)要求學(xué)生在練習(xí)本上邊聽(tīng)邊記下這個(gè)同學(xué)的主要想法，也會(huì)要求個(gè)別學(xué)生在黑板上寫，這是為了引導(dǎo)他們?nèi)ダ斫鈩e人的觀點(diǎn)。我自己也會(huì)非常仔細(xì)地去聽(tīng)，發(fā)現(xiàn)其中暗含的一些思路，組織學(xué)生之間通過(guò)說(shuō)理去反駁別人或堅(jiān)持自己的主張，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)‘為什么是這樣的求知欲（L-49）。逐步讓學(xué)生擺脫對(duì)外部力量的依賴，使得他們能夠靠自己的理性思考去看待各種觀點(diǎn)（L-50）。”

為了豐富學(xué)生的推理活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，L老師認(rèn)為要同時(shí)兼顧形式化和非形式化兩種推理模式，更要注重提高學(xué)生推理的策略性知識(shí)。

“數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性常常要求學(xué)生的推理要列式子寫符號(hào)，但干巴巴的符號(hào)往往會(huì)加重學(xué)生推理學(xué)習(xí)的負(fù)擔(dān)。推理本身就難學(xué)，如果再過(guò)分強(qiáng)調(diào)這些格式，會(huì)讓孩子徹底喪失推理學(xué)習(xí)的興趣（L-53）。適當(dāng)放寬嚴(yán)謹(jǐn)性的要求，允許學(xué)生使用圖像、日常語(yǔ)言等方式來(lái)表達(dá)推理。我覺(jué)得這很重要，因?yàn)檫@對(duì)于孩子來(lái)說(shuō)往往更容易理解和接受（L-54）。”同時(shí)，“作為老師，我在給學(xué)生講推理的時(shí)候也不都是符號(hào)和公式的，因?yàn)榻滩纳弦呀?jīng)這樣呈現(xiàn)了，如果老師再這樣的話，容易使得學(xué)生養(yǎng)成只關(guān)注推理表面特征的習(xí)慣，卻忽視推理內(nèi)容本身，我更喜歡用一些通俗易懂的話解釋推理（L-59）。”并且，“我發(fā)現(xiàn)有的學(xué)生在做題時(shí)喜歡參考課本上的例題，或者模仿我講課時(shí)用到的方法，如果你讓學(xué)生說(shuō)出為什么要這樣推理，學(xué)生往往很難解釋清楚，一般都是回憶相似的題目使用了這種方法，所以感覺(jué)應(yīng)該使用這種方法（L-62）。”“我覺(jué)得老師應(yīng)該多與學(xué)生交流自己構(gòu)思推理的心路歷程，讓學(xué)生了解為什么在做題時(shí)就用到了這樣的數(shù)學(xué)知識(shí)，根據(jù)怎樣的蛛絲馬跡完成了一步又一步的推理，這都是重要的做題經(jīng)驗(yàn)（L-65）。”最后，L老師還特別考慮了影響學(xué)生推理學(xué)習(xí)的心理因素。

“推理題的邏輯性一般很強(qiáng)，沒(méi)有固定的方法去遵循，因此不管是在考試還是在平時(shí)的作業(yè)里推理題都是最難把握的（L-71）。學(xué)生有兩級(jí)分化的現(xiàn)象，喜歡推理的學(xué)生對(duì)推理題越發(fā)感興趣，不喜歡推理的學(xué)生常常因此產(chǎn)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的害怕心理，如何提高學(xué)生這方面的心理承受力真的太重要了（L-73）。我覺(jué)得可以經(jīng)常的夸夸學(xué)生，鼓勵(lì)學(xué)生，努力發(fā)現(xiàn)學(xué)生的一些優(yōu)點(diǎn)（L-76）。”“特別是要注意推理學(xué)習(xí)由易到難的過(guò)度，比如在課堂上，可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)操作、畫圖的方式引出推理內(nèi)容，再比如我前面說(shuō)到的不能把現(xiàn)成的推理結(jié)果告訴學(xué)生，少說(shuō)這樣推，多說(shuō)為什么這樣推，還有就是剛開(kāi)始學(xué)習(xí)推理的時(shí)候，多讓學(xué)生做做簡(jiǎn)單題，不要太強(qiáng)調(diào)推理技巧（L-79）。”

四、結(jié)論與討論

1.數(shù)學(xué)推理的教與學(xué)應(yīng)讓學(xué)生體驗(yàn)推理的生成過(guò)程

各個(gè)國(guó)家和地區(qū)的中學(xué)生在數(shù)學(xué)推理上面臨挑戰(zhàn)的一個(gè)關(guān)鍵因素就在于其缺乏足夠的推理知識(shí)，尤其是策略性知識(shí)[14]。比如很多學(xué)生不知道如何開(kāi)始一個(gè)推理或者應(yīng)該選擇哪些定理或性質(zhì)進(jìn)行推理[15]，甚至有學(xué)生認(rèn)為檢驗(yàn)幾個(gè)特殊例子就足以確定命題為真[16]。具有這些迷思概念的學(xué)生歸根結(jié)底是由于他們的推理知識(shí)不充分，沒(méi)有認(rèn)清推理的本質(zhì)所造成的。根據(jù)數(shù)據(jù)編碼的結(jié)果，L老師常常會(huì)通過(guò)生生互動(dòng)或師生互動(dòng)的方式精細(xì)化學(xué)生的推理方案。為了減少學(xué)生對(duì)形式化推理的過(guò)度記憶與模仿，她在課堂上采用解釋性的話語(yǔ)描述推理，并鼓勵(lì)學(xué)生使用圖像、日常語(yǔ)言等多種表征方式去解決問(wèn)題，有助于規(guī)避學(xué)生僅關(guān)注推理表面特征的情況出現(xiàn)，使得他們能夠?qū)⒏嗟淖⒁饬性谕评韮?nèi)容本身。而且L老師習(xí)慣與學(xué)生交流推理的來(lái)龍去脈，這種向?qū)W生暴露思維過(guò)程的教學(xué)方式會(huì)展現(xiàn)思考中可能的彎路、嘗試性的失敗及修正的思考，體驗(yàn)式的學(xué)習(xí)對(duì)深化學(xué)生對(duì)推理知識(shí)（尤其是策略性知識(shí)）的感性認(rèn)識(shí)具有重要意義。此外，L老師將教學(xué)重心放在推理生成而不是結(jié)果導(dǎo)出的另一層重要意義在于，可進(jìn)一步讓學(xué)生從內(nèi)心深處感受并相信，推理不是一揮而就的，即使是教師，在面對(duì)推理題時(shí)也不能馬上就步入解題的正軌，而需要不斷地嘗試與反思，從而增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)推理的自信。

2.數(shù)學(xué)推理的教與學(xué)應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生的“反權(quán)威”意識(shí)

已有研究發(fā)現(xiàn)，訴諸權(quán)威的推理模式是學(xué)生普遍持有的一種錯(cuò)誤的推理方式[13]。它表現(xiàn)在很多方面，其中一種表現(xiàn)是學(xué)生依賴于被告知解題步驟去解決問(wèn)題。當(dāng)進(jìn)行推理時(shí)，學(xué)生期望被告知推理的思路而不是探索推理的過(guò)程。這種行為的潛在特征是將數(shù)學(xué)視為事實(shí)性結(jié)果的集合，不關(guān)注或很少關(guān)注結(jié)論真實(shí)性的來(lái)源。訴諸權(quán)威的第二種表現(xiàn)是學(xué)生在自己不認(rèn)真解決問(wèn)題的情況下或已經(jīng)正確解答的情況下尋求外部的幫助或確信。當(dāng)這種情況發(fā)生時(shí)，只需要與學(xué)生進(jìn)行一個(gè)簡(jiǎn)短的討論或明確告知他們的解答是無(wú)誤的，他們才會(huì)意識(shí)到自己實(shí)際上已經(jīng)具備獨(dú)立解決問(wèn)題的能力。訴諸權(quán)威的第三種表現(xiàn)是“定理”在學(xué)生推理過(guò)程中的作用，一旦一個(gè)命題被視為定理，一些學(xué)生推理該命題的努力、意愿和能力就會(huì)大打折扣，“定理”對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)似乎是應(yīng)該遵守的而不是被推理或質(zhì)疑的。根據(jù)數(shù)據(jù)編碼的結(jié)果，L老師提到的外部權(quán)威應(yīng)該屬于上述第二種表現(xiàn)。她為避免學(xué)生被動(dòng)地依靠教師或教材等外部力量去接受推理，在授課時(shí)她注重強(qiáng)化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)推理的評(píng)價(jià)能力，努力使學(xué)生學(xué)會(huì)理解他人的看法，并且能通過(guò)說(shuō)理去說(shuō)服或反駁別人，而非純粹的接受或記憶。這樣，學(xué)生雖然是從上（教師）至下的學(xué)習(xí)推理，但通過(guò)他們自己的探索活動(dòng)和彼此的爭(zhēng)論反駁，確保了自身與外部權(quán)威之間的平等性。這無(wú)形中發(fā)展了他們“反權(quán)威”的意識(shí)，強(qiáng)化了學(xué)生的反思精神和理性思維能力。

3.數(shù)學(xué)推理的教與學(xué)應(yīng)營(yíng)造猜想-證明的課堂情境

很多學(xué)者指出，為了培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力，應(yīng)該讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)家“做”推理的完整過(guò)程，包括探索數(shù)學(xué)關(guān)系以識(shí)別有意義的模式、使用模式來(lái)形成猜想、通過(guò)新的證據(jù)來(lái)檢驗(yàn)猜想、修訂猜想以排除反例，以及提供一般論證來(lái)確定猜想等等[17]。由此營(yíng)造猜想—證明的課堂情境十分有利于學(xué)生對(duì)推理的全面理解。根據(jù)數(shù)據(jù)編碼的結(jié)果，L老師通常會(huì)在結(jié)論不確定的課堂情境中，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究和臆測(cè)，鼓勵(lì)學(xué)生敢于提問(wèn)和質(zhì)疑，并進(jìn)一步厘清自己的思路。學(xué)生有機(jī)會(huì)親身參與數(shù)學(xué)推理的獨(dú)立建構(gòu)，也有機(jī)會(huì)通過(guò)彼此合作共同解決有意義的問(wèn)題，這使得學(xué)生不僅能夠自己“悟”推理，也能在互動(dòng)交流中不斷精準(zhǔn)化自己的推理方案。因此，為了營(yíng)造探索真知的課堂情境，教師應(yīng)為學(xué)生提供探究性的學(xué)習(xí)任務(wù)，引導(dǎo)學(xué)生自行構(gòu)建推理和品評(píng)他人推理，主動(dòng)分享自己的看法，同時(shí)勇于回應(yīng)他人的疑惑，真正做到以“理”服人。當(dāng)下無(wú)論是在國(guó)內(nèi)還是國(guó)外，努力營(yíng)造數(shù)學(xué)推理的課堂學(xué)習(xí)情境已經(jīng)得到學(xué)界的廣泛認(rèn)可，但在實(shí)際操作層面還面臨很多挑戰(zhàn)。例如，教師需要知道如何運(yùn)用恰當(dāng)?shù)姆?hào)體系去向?qū)W生表達(dá)推理并幫助學(xué)生學(xué)會(huì)這種表達(dá)方式。唯有把這些元素揉進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)，形成推理的課堂學(xué)習(xí)規(guī)范，方能切實(shí)改善學(xué)生的邏輯思維。

參考文獻(xiàn)

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