淺析自主招生數(shù)學(xué)試題一題多解

曾志

摘要：自主招生又稱自主選拔，是高校選拔錄取工作改革的重要環(huán)節(jié)。本文首先分析自主招生數(shù)學(xué)試題中一題多解的要求;然后以2009年清華大學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試題題2為例，評(píng)析它的不同解法;最后給出考生做好一題多解題的幾點(diǎn)建議，希望能夠給備考學(xué)生和指導(dǎo)教師提供借鑒。

關(guān)鍵詞：自主招生，數(shù)學(xué)，一題多解。

繼2010年以來(lái)，鑒于社會(huì)發(fā)展對(duì)各類專業(yè)人才的新需求，全國(guó)重點(diǎn)大學(xué)在高考錄取方面進(jìn)行了相繼的改革，先后組織“北約”“華約”“卓越”等聯(lián)盟進(jìn)行統(tǒng)一測(cè)試。2015年以后，為體現(xiàn)個(gè)性化錄取，聯(lián)盟取消，并且每年自主招生選拔的名額比例逐漸增加，引起了備考學(xué)生、家長(zhǎng)和教育工作者的廣泛關(guān)注。

自主招生數(shù)學(xué)試題一般有30個(gè)題左右，考試時(shí)間為三個(gè)小時(shí)。考試內(nèi)容涉及高中數(shù)學(xué)必修和選修內(nèi)容。題型以填空題和解答題為主，重點(diǎn)考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)和基礎(chǔ)技能、發(fā)散思維和綜合解決問(wèn)題能力。考試分值主要集中在解答題上，考生要想取得理想的成績(jī)，必須做好解答題，而很多解答題體現(xiàn)了一題多解的方法，其目的在于考察學(xué)生的知識(shí)的寬度與發(fā)散思維能力。

1.一題多解的要求

一題多解就是對(duì)于同一道題目，可以從多種角度思考，采用多種解題思路，運(yùn)用不同的方法和技巧來(lái)解答。自主招生數(shù)學(xué)試題一般難度較大，一題多解的要求是學(xué)生要具有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)和深度思維能力，學(xué)生才能在解決問(wèn)題時(shí)對(duì)所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行整合，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行多角度的觀察和分析，找到每種角度的切入點(diǎn)和突破點(diǎn)。學(xué)生往往認(rèn)為，做完一道數(shù)學(xué)題只要得到一個(gè)正確的答案就行了，為什么還要應(yīng)用多種方法來(lái)完成一道數(shù)學(xué)習(xí)題呢？我認(rèn)為，學(xué)生能不能應(yīng)用多種方法解答出一道數(shù)學(xué)習(xí)題與學(xué)生的思維寬度和思維深度有關(guān)。因此這就要求教師在平時(shí)教學(xué)過(guò)程中要注重典型一題多解例題的示范，從高起點(diǎn)、科學(xué)和規(guī)范地引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度去分析和思考同一個(gè)問(wèn)題，進(jìn)而拓展學(xué)生的知識(shí)廣度與思維深度。課后通過(guò)一題多解的練習(xí)，拓寬解題者的解題思路，促進(jìn)學(xué)生發(fā)散性思維水平提高。

2.例談一題多解的具體應(yīng)用

筆者以2009年清華大學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試題題2為例，該題考察的是一個(gè)不等式題，也是高考甚至其它高校自主招生考試常考的知識(shí)點(diǎn)，具體題目如下：

1、設(shè)為實(shí)數(shù)且，求證：對(duì)任意的正整數(shù)，有。

這道題的難度屬于中等，李多敏[1]老師給出了該題6種解答，這里筆者不打算再給出詳細(xì)解答過(guò)程。僅從李多敏老師的每種解題方法給出個(gè)人一點(diǎn)簡(jiǎn)單評(píng)析。

評(píng)析解法一、運(yùn)用函數(shù)的知識(shí)解決問(wèn)題。首先是把要證明的不等式進(jìn)行簡(jiǎn)單變形，然后構(gòu)造一類特殊的函數(shù)即凸函數(shù)，最后從凸函數(shù)性質(zhì)的角度去分析并解決問(wèn)題。函數(shù)知識(shí)是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也是高考常考甚至必考的內(nèi)容。

評(píng)析解法二、運(yùn)用數(shù)列的知識(shí)解決問(wèn)題。從條件出發(fā)，把條件進(jìn)行變形，使得滿足等差數(shù)列的定義，進(jìn)而從等差數(shù)列的角度出發(fā)，直接代入不等式的左邊，利用二項(xiàng)目定理就得到結(jié)論。

評(píng)析解法三、運(yùn)用三角函數(shù)的知識(shí)解決問(wèn)題。從條件出發(fā)，聯(lián)想三角函數(shù)的平方關(guān)系，把條件進(jìn)行三角代換，結(jié)合二項(xiàng)目定理和三角函數(shù)的有界性來(lái)解決問(wèn)題。

評(píng)析解法四、運(yùn)用排列組合的知識(shí)解決問(wèn)題。 巧妙地利用排序不等式構(gòu)造了二項(xiàng)式定理展開(kāi)的通項(xiàng)，從而得出結(jié)論。

評(píng)析解法五、運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法解決問(wèn)題。在證明過(guò)程中，結(jié)合課本中的基本不等式的性質(zhì)使得該問(wèn)題解決。 巧妙地利用排序不等式構(gòu)造了二項(xiàng)式定理展開(kāi)的通項(xiàng)，從而得出結(jié)論。

評(píng)析解法六、運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納解決問(wèn)題。在證明過(guò)程中，推廣教材上一個(gè)基本不等式得到柯西不等式來(lái)解決問(wèn)題。

上述該題代表典型的一題多解題，考生要想在一題多解題中做到迎刃而解，筆者提出如下幾點(diǎn)建議。

1、回歸教材。自主招生試題源于課本，又高于課本，教學(xué)要回歸教材的主體地位，充分認(rèn)識(shí)到教材的重要作用。通過(guò)上述解題方法的分析，作為學(xué)生，要充分掌握教材中的基本概念、定理和性質(zhì)以及它們的應(yīng)用，平時(shí)要善于總結(jié)、歸納，對(duì)學(xué)過(guò)的知識(shí)進(jìn)行不斷復(fù)習(xí)并鞏固。

2、注重知識(shí)之間的聯(lián)系。教材每一章或每一節(jié)是一個(gè)獨(dú)立的個(gè)休，如何建立個(gè)體之間的聯(lián)系是解決一題多解題型的關(guān)鍵，上述該題正是反映知識(shí)間的聯(lián)系，巧妙地把不等式與函數(shù)、數(shù)列、三角函數(shù)和歸納法建立起來(lái)，這就要求教師在教學(xué)過(guò)程中善于引導(dǎo)學(xué)生建立知識(shí)之間的聯(lián)系。學(xué)生在學(xué)習(xí)中，要深入掌握概念、公式、定理和性質(zhì)等，注重知識(shí)點(diǎn)之間銜接，學(xué)會(huì)尋找各數(shù)學(xué)知識(shí)之間的相似之處，進(jìn)而尋找解題方法。

3、適當(dāng)拓展知識(shí)。課堂教學(xué)除了以教材為主外，還有必要拓展教材以的知識(shí)，加深知識(shí)的濃度與廣度。解法一中的凸函數(shù)和解法六中的柯西不等式是教材以課本外的知識(shí)，屬于延深內(nèi)容，一般而言，全國(guó)重點(diǎn)學(xué)校的自主招生考試的試題要難于高考的試題，但又低于數(shù)學(xué)競(jìng)賽的題目，所以要求教師在平時(shí)教學(xué)過(guò)程中有必要拓展知識(shí)，考生在復(fù)習(xí)時(shí)要注重知識(shí)點(diǎn)的延伸，做到舉一反。

4、培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。學(xué)生的思維能力是近些年來(lái)自主招生考試試題重點(diǎn)考查內(nèi)容之一。上述是一個(gè)不等式題，考察的問(wèn)題需要轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題加以解決或者轉(zhuǎn)化為數(shù)列問(wèn)題加以解決，同時(shí)考察了數(shù)學(xué)的思想方法，需要轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)歸納法加以解決。近年來(lái)，自主招生題型主要以選擇題、填空題和解答題，例如清華大學(xué)的試題全部為不定項(xiàng)選擇題，選對(duì)則正確，選錯(cuò)一個(gè)選項(xiàng)就按零分處理，其目的在于這樣題型考察學(xué)生思考問(wèn)題的全面性。部分高校在填空題和解答題題中設(shè)置了學(xué)習(xí)型問(wèn)題，其目的考察學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力和創(chuàng)新能力等。

參考文獻(xiàn)

[1]李多敏。一道自主招生數(shù)學(xué)試題的多種解法[J]。中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2014 （3）：60。

[2]李保榮。自主招生試題中常用的解題策略[J]。高中數(shù)理化，2018（14）：15-16。

[3]王張建。高校自主招生數(shù)學(xué)試題特點(diǎn)及對(duì)策[J]。中學(xué)生數(shù)理化（學(xué)研版），2015 （1）：55。

[4]時(shí)寶軍，李淑蓮，于瑞廣。2009年清華大學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試題解答與評(píng)析[J]。數(shù)學(xué)通訊，2010（3）：54-58。