高中數學解題訓練的三點感悟

李雨臻

摘 要：在高中數學學習中，解題訓練的重要意義自然不言而喻。在平時的學習中，學生不能為了解題而解題，而是積極地去思考和體會，從而最大限度地提升解題能力。本文簡要探討了筆者自身對于高中數學解題訓練的三點感悟，即注重數學思想及方法的提煉、尋求創新性解法以拓展思維、對錯題原因進行深層次反思，冀對高中同學有所助益。

關鍵詞：高中數學;解題訓練;數學思想、一題多解;錯題分析;學習心得

數學教育家波利亞有句廣為人知的名言：“掌握數學的主要表現就是善于解決問題”，他還在其名著《數學的發現》序言中說：“中學數學教學的首要任務即為加強解題訓練。”就高中數學而言，解題訓練的重要意義自然不言而喻。在平時的學習中，我們不能為了解題而解題，而是積極地去思考和體會，從而最大限度地提升解題能力。以下是筆者結合自身學習實踐所產生的三點感悟，冀對高中同學有所助益。

一、注重數學思想及方法的提煉

眾所周知，大多數高中數學題目中都蘊含著經典的數學思想及方法，如數形結合、分類討論，轉化與化歸，以及方程與不等式等，當面對一道題目時，能否正確運用恰當的數學思想及方法往往是順利解題的關鍵。在解題訓練中，我們亦應注重數學思想及方法的提煉，以期加深理解，從本質上掌握題目精髓。例如：函數f（x）=cos（3x+π/6）在[0，π]的零點個數為（）。該題若用取點作圖法的話自然離不開數形結合，但實際上除此之外，我們還可以利用換元和轉化的思想采取一種更簡單的解法，即：先換元，設3x+π/6=t，由x∈[0，π]得到t∈[π/6，3π+π/6]，然后通過y=cost的圖像易知，當t=π/2，3π/2，5π/2時，cost=0，即f（x）有三個零點。該解法通過換元轉化的方式利用了基本三角函數y=cost的圖像，思路上有一定的技巧性，對此應當給予一定的重視，仔細體會換元轉化思想在其間發揮的重要作用。

二、尋求創新性解法以拓展思維

“數學是思維的體操”，一題多解是高中數學解題中常見的現象，在平常的解題訓練中，除了老師的引導和強調外，學生自身也應注重尋求一些創新性的解法以拓展思維，同時亦可增加思維深度。例如：已知函數f（x）=|2x-1|，其值域為（2，6），求其定義域。該題的解答需要將先已知條件轉化成不等式問題，即2<|2x-1|<6。轉化成不等式問題后，問題就較為簡單了，可以將2<|2x-1|<6拆分為2x-1|<6和|2x-1|>2兩個不等式，分別求解進而將兩式的解綜合，最終得出x的取值范圍。但這一思路僅屬于一般性的思路，我們還可以采取一種創新性的思路來求解該題。分析題設可以發現，該題的難點主要是絕對值的存在，如果能夠首先去掉絕對值從而簡化不等式，則問題也就迎刃而解了。而根據絕對值的定義，2<|2x-1|<6去掉絕對值后變成兩個式子，即2<2x-1<6和-2<2x-1<-6，這時再采用常規性的解題思路就很容易解答該題了。在解答和訓練過程中，要注意體會這種創新性的思路，以達到拓展思維的目的。

三、對錯題原因進行深層次反思

解題訓練中難免會遇到容易做錯的題目，對于錯題的總結和反思是解題訓練中十分重要的一環。對錯題的總結和反思，其核心重點是從思維過程中找到深層次的出錯原因，抓住實質，有的放矢，從根源上暴露問題進而消除問題，這樣才能夠真正從中受益。例如：“若銳角△ABC中角B是角A的2倍，則cosA+cosB的取值范圍是多少？”比較典型的錯誤解答過程是：cosA+cosB=cosA+cos2A=2cos2A+cosA-1=2（cosA+1/4）2-9/8，由于△ABC為銳角三角形且B是角A的2倍，故有A∈（0，π/4），cosA∈（0，/2），所以cosA+cosB=2（cosA+1/4）2-9/8在cosA∈（0，/2）上單調遞增，由此得到cosA+cosB∈（-1，/2）。那么錯誤的原因在哪里呢？表面上看是忽略了C=π-（B+A），C∈（0，π/2），從而得到A>π/6，A的區間大小錯誤而導致解答錯誤，但實際上，深層次的原因是忽略了C為銳角時對角A得制約，致使求得的A的區間變大，而從根源上看，則是解題者對銳角三角形的定義沒有全面而切實掌握，沒有合理地利用上銳角三角形中任意兩個銳角兩個角的和為鈍角這一隱含條件。而這在三角函數解題中又常常是正確解題的關鍵性條件。這樣，通過對問題根源的剖析而明確出錯的本質原因，自然就能夠真正掌握該題，并在同類題目中不再犯同樣的錯誤。試想，如果僅僅是指出錯誤，講一下正確解法，則學生很可能是知其然而不知其所以然，難保下次繼續出錯。

綜上所述，本文簡要探討了筆者自身對于高中數學解題訓練的三點感悟，即注重數學思想及方法的提煉、尋求創新性解法以拓展思維、對錯題原因進行深層次反思。事實上，高中數學解題訓練當然是一個兼具深度和廣度的話題，需要在學習實踐中不斷積極探索和總結，本文拋磚引玉，尚盼有識者指教。

參考文獻

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