例談高中數學中函數的解題思路

姚柯帆

摘 要：函數貫徹整個高中數學，是高中數學的重點內容，因題型復雜多變，較為抽象，解題難度較大，是各類測試中失分較嚴重的題型。教學實踐中，教師應通過講解具體例題，傳授不同函數題型的解題思路，幫助學生迅速找到解題突破口，提高函數題型的解題水平與效率。

關鍵詞：高中數學;函數;解題思路

高中數學函數解題思路較多，包括分離參數法、換元法、數形結合法。為使學生靈活應用這些解題方法，順利、正確解答高中函數試題，提高函數試題解題能力，教師應詳細列出相關題型的解題步驟，使學生深刻感受、領悟，徹底掌握。

1.分離參數法解題

解答函數恒成立試題時，部分題型可將參數分離出來，而后求解另一邊函數式的最大值或最小值，此時要想恒成立，則需滿足參數小于函數式的最小值或大于函數式的最大值即可。

例1：已知f（x）為定義域為R的奇函數，當x>0時，f（x）=x4。如果f（x+t）≤4f（x）在x∈[1，16]上恒成立，則實數t的最大值為_____。

分析：解答該題目時需要利用已知條件，將函數中的“括號”去掉，而后通過分離參數法進行求解，具體解題過程為：

∵當x>0時，f（x）=x4，即，在（0，+∞）上單調遞增

又∵f（x）為R上的奇函數，因此，f（x）在R上為單調遞增函數。

又∵4f（x）=f（x），即，f（x+t）≤4f（x）等價于f（x+t）≤f（x）

則只要求出x+t≤x，在x∈[1，16]上恒成立即可。分離參數得t≤（-1）x

顯然只要t小于等于（-1）x的最小值即可，顯然當x=1時（-1）x取得最小值-1，因此，t的最大值是-1。

2.換元法解題

通過換元可將復雜的函數式化成簡單的參數，不僅更加容易利用所學，而且計算的復雜度大大降低，明顯提升解題效率，因此，教學實踐中，教師應注重換元法的應用講解，使學生徹底掌握，靈活應用。

例2：已知函數f（x）=4x-m·2x+1，若存在實數x0，使得f（-x0）=-f（x0）成立，則實數m的取值范圍是___。

分析：解答該題時，先根據函數表達式代入實數x0，而后研究代入x0后的表達式，采用換元法最終求解。

假設存在實數x0，滿足f（-x0）=-f（x0）成立則

因此，+4x0=2m（+2x0），令t=2x0（t>0），則+t2=2m（+t）令λ=+t（λ≥2），因此，2m=λ-，令g（λ）=λ-，分析得知g（λ）在[2，+∞）為增函數，則2m≥g（2）=1，因此，m≥。

3.數形結合法解題

解答高中函數試題時，借助相關圖形，可直觀的觀察出參數之間的關系，進行簡單計算便可得出正確結果，解題效率明顯提高，因此，教學實踐中，教師應引導學生利用數學結合法解題，使學生養成使用數形結合法解答函數試題的良好習慣。

例3：已知函數f（x）滿足f（x）1=，當x∈[0，1]時，f（x）=x。若在區間（-1，1]上g（x）=f（x）-mx-2m的圖像和x軸有兩個交點，則m的取值范圍為：____。

分析：解答該題目時，根據已知條件求解出f（x）的表達式，而后利用數形結合法，得出函數圖像間的關系，經過分析便可得出結果。

∵-1

則f（x+1）=x+1，即，f（x）=-1=-1

因此，f（x）=

令g（x）=f（x）-mx-2m=0，則f（x）=mx+2m

畫出如圖1所示的圖

由圖形易知m∈（0，]。

4.結論

高中數學函數題目復雜多變，部分題目解答時需要一定的技巧，對學生的解題能力要求較高，因此，教學實踐中，教師應通過講解經典例題，使學生掌握不同題型的解題方法，掌握函數試題的解題規律，迅速找到解題思路，高效解題。

參考文獻

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