觀數列命題方向 做引航科學備考

摘 要：數列是高考試題中最常考的知識點，本文通過列舉具體實例，深度剖析了數列的各個考點，并對各考點的解題方法進行了深度研究.

關鍵詞：等差數列;命題趨勢;科學備考;數學文化

中圖分類號：G632????? 文獻標識碼：A????? 文章編號：1008-0333（2020）34-0043-02

收稿日期：2020-09-05

作者簡介：余榮華（1981.1-），男，江西省奉新人，學士，中學一級教師，從事高中數學教學研究.

數列的的考查是高考的必考點，也是熱點內容，考查類型涵蓋選擇、填空及解答題.在復習備考時應熟練掌握并運用等差數列與等比數列的基本公式和重要性質.只有這樣才能做到知彼知己，百戰百勝.本文主要就數列問題展開討論，通過例題展示，對各類考題破題方法進行總結，望能夠給讀者帶來幫助.

一、數列的基本運算

例1 （2019重慶期中）設Sn為等差數列an的前n項和，若a3+a7=10，S7=14，則數列an的公差為（? ）.

A.1??? B.2??? C.3??? D.4

解析 設數列an的公差為d，因為a3+a7=10，S7=14，所以2a1+8d=10，7a1+7×62d=14，聯立解得a1=-7，d=3.，故選C.

點評 等差數列的基本運算方法

（1）等差數列的某一項可以根據首項a1和公差d來確定，因此等差數列的基本量問題可以圍繞著首項和公差來展開.

（2）對于等差數列問題，一般題目中會給出兩個以上條件，則可以利用方程思想，建立方程進行破解.

二、數列的性質

例2 （2019·四川廣元模擬）已知等比數列an中，a3=2，a4a6=16，則a9-a11a5-a7=（? ）.

A.2?? B.4?? C.8?? D.16

解析 設等比數列an的公比為q，因為a3=2，a4a6=16，所以a1q2=2，a21q8=16，解得q4=4，則a9-a11a5-a7=a9（1-q2）a5（1-q2）=q4=4.

點評 對于數列的性質問題，要做到熟記數列中相關的通項公式和前n項和公式，熟練掌握等差或等比數列的性質，另外還需要注意題目中的隱含條件，如“遞增數列”、“各項均為正”.

三、數列的證明

例3 （2019廣西省南寧市第二次適應性考試）已知數列an的前n項和為Sn，且滿足an+1=Sn+n+1（n=1，2，3，…），a1=1.

（1）求證：{an+1}為等比數列;

（2）數列an中是否存在不同的三項，適當排列順序后構成一個等差數列？并說明理由.

解析 （1）證明：

因為an+1=Sn+n+1（n=1，2，3，…），①

所以an=Sn-1+n（n≥2）.②

因為an=Sn-Sn-1（n≥2），所以①-②可得an+1-an=an+1，即an+1=2an+1.湊成an+1+1=2（an+1），

化為an+1+1an+1=2，故{an+1}為等比數列.

（2）不存在.

理由如下：由（2）得an=2n-1.

假設能得到一個等差數列，不妨設滿足條件的3項為ar，as，at，則2·（2s-1）=2r-1+2t-1，即2s+1=2r+2t.所以2r-s-1+2t-s-1=1，因為an是遞增數列，則r-s-1≥0，t-s-1≥0中必有一個成立.則2r-s-1+2t-s-1>1與2r-s-1+2t-s-1=1矛盾，所以數列an中不存在不同的三項，適當排列順序后構成一個等差數列.

點評 等比數列的判定與證明

①定義法：

驗證：anan-1=q（n≥2且n∈N*）或an+1an=q（n∈N*）（q為非零常數）.

②中項法：

驗證：a2n=an+1an-1（an≠0）（n≥2且n∈N*）或a2n+1=an·an+2（n∈N*）.

③通項公式法：

驗證：an=abn（a≠0，b≠0）.

④前n項和公式法：

驗證：Sn=a·bn-a（a≠0，b≠0，b≠1）.

四、數列的求和問題

例4 （2019廣東一模）已知公差不為零的等差數列an滿足a1=5且a3，a6，a11成等比數列.

（1）求數列an的通項公式;

（2）設bn=an·3n-1，求數列bn的前n項和Sn.

解析 （1）設等差數列an的公差為d，因為a3，a6，a11成等比數列，

所以a26=a3a11，即（a1+5d）2=（a1+2d）（a1+10d）.化簡得：5d-2a1=0.又a1=5，所以d=2，從而an=2n+3.

（2）因為bn=（2n+3）·3n-1.所以Sn=5×30+7×31+9×32+…+（2n+1）·3n-2+（2n+3）·3n-1.所以3Sn=5×31+7×32+9×33+…+（2n+1）·3n-1+（2n+3）·3n以上兩個等式相減，得

-2Sn=5+2×（31+32+…+3n-1）-（2n+3）·3n=5+2×3×（3n-1-1）2-（2n+3）·3n.

化簡得：Sn=（n+1）3n-1.

點評 用錯位相減法求和的3個注意事項

（1）要善于識別題目類型，特別是等比數列公比為負數的情形;

（2）在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“Sn-qSn”的表達式;

（3）在應用錯位相減法求和時，若等比數列的公比為參數，應分公比等于1和不等于1兩種情況求解.

五、數列的綜合問題

例5 （2019·江西宜春期末）已知函數f（x）=x+12，x≤12，2x-1，12<x<1，x-1，x≥1，若數列an滿足a1=73，an+1=f（an）（n∈N*），則a2019=（? ）.

A.73?? B.43?? C.56&nbsp;? D.13

解析 因為函數f（x）=x+12，x≤12，2x-1，12<x<1，x-1，x≥1，數列an滿足a1=73，an+1=f（an），則a2=a1-1=43，a3=a2-1=13，a4=a3+12=56，a5=2a4-1=23，a6=2a5-1=13，a7=a6+12=56，則數列an滿足an+3=an（n≥3），即數列an從第三項開始，組成周期為3的數列，則a2019=a3+2016=a3=13.

點評 數列作為一類特殊的函數，其定義域是正整數而不是某個區間上的連續實數，所以它的圖象是一群孤立的點.若題中已知函數條件解決數列問題，此類問題一般利用函數的性質、圖象研究數列問題;若已知數列條件解決函數問題，解決此類問題一般要充分利用數列的有關公式與求和技巧等.

六、數列中的數學文化

例6 朱世杰是中國歷史上偉大的數學家之一，他所著的《四元玉鑒》卷中“如像招數”五問有如下問題：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日轉多七人.”其大意為“官府陸續派遣1864人前往修筑堤壩，第一天派出64人，從第二天開始每天派出的人數比前一天多7人.”在該問題中的1864人全部派遣到位需要的天數為（? ）.

A.9?? B.16?? C.18?? D.20

解析 根據題意設每天派出的人數組成數列an，分析可得數列an是首項a1=64，公差d=7的等差數列，設1864人全部派遣到位需要的天數為n，則64n+n（n-1）2×7=1864，即n2+15n-496=0，由n為正整數，解得n=16，故選B.

點評 對于等差數列中的數學文化問題，首先要能夠將題目中所給的數學文化問題轉化為等差數列問題，再根據等差數列知識進行求解.另外，該類試題除直接給出古代數學文化問題進行命題的形式外，有時還會以古代數學思想為載體進行命題（如：以格點問題為背景）或根據世界名題進行命題（如：哥德巴赫猜想，角谷猜想，四色定理）.

參考文獻：

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[2]曹輝.高中數學數列試題的解題方法與技巧研究[J].數理化解題研究，2015（19）：2.

[3]鮑道斌.高中數學數列題的解題技巧探究[J].數學學習與研究，2019（08）：105.

[責任編輯：李 璟]