不一般的相似

摘 要：本文分別探討了拋物線、橢圓、雙曲線中的位似關系，最終獲得結論：離心率相等的圓錐曲線是位似圖形.

關鍵詞：位似;拋物線;橢圓;雙曲線;圓錐曲線

中圖分類號：G632????? 文獻標識碼：A????? 文章編號：1008-0333（2020）34-0007-02

收稿日期：2020-09-05

作者簡介：陳峰（1982.9-），男，江蘇省蘇州人，碩士，中學高級教師，從事高中數學教學研究.

在蘇教版《普通高中課程標準實驗教科書數學選修2-1》課本P74-P75中提出了一個很有意思的問題：嘗試證明離心率相同的圓錐曲線“形狀都相同”.如果上述結論成立，這意味著圓錐曲線中也存在著相似關系，為了弄清這個問題，首先必須引入位似的概念.

一、位似

兩個多邊形不僅相似，而且對應頂點的連線相交于一點，并且對應邊互相平行或位于同一直線上，像這樣的兩個圖形叫做位似圖形（homothetic figures），這個交點叫做位似中心，這時的相似比又稱為位似比.

兩個圖形位似，它們的相對位置關系有三種：位似中心在圖形的一側（如圖1）、兩個圖形分居位似中心的兩側（如圖2）、位似中心在兩個圖形的內部（如圖3）.

根據位似的定義不難得出：兩個圖形位似則它們一定相似，而兩個圖形相似則它們不一定位似.同時，當兩個圖形位似時，除了滿足相似的一切性質外，還滿足一些特有性質，如“對應頂點的連線相交于一點”、“對應邊互相平行或在同一直線上”等.

二、圓錐曲線的位似關系

1.拋物線

結論1 拋物線y=ax2（a>0）與y=Ax2（A>0，A≠a）是位似圖形，原點是位似中心.

證明 設直線l的方程為y=mx（m>0），則這條直線與拋物線y=ax2（a>0）和y=Ax2（A>0，A≠a）分別相交于M（ma，m2a）和N（mA，m2A），則OM=ma1+m2和ON=mA1+m2，所以OMON=Aa=1a1A（常數）.則拋物線y=ax2（a>0）與y=Ax2（A>0）形狀相同，它們是位似圖形，原點是位似中心.

結論2 拋物線y=a1x2（a1>0），y=a2x2（a2>0），…，y=anx2（an>0）是位似圖形，原點是位似中心.

證明 設直線l的方程為y=mx（m>0），則這條直線與拋物線y=a1x2（a1>0），y=a2x2（a2>0），…，y=anx2（an>0）分別相交于P1（ma1，m2a1），P2（ma2，m2a2），…，Pn（man，m2an），則OP1=ma11+m2，OP2=ma21+m2，…，OPn=man1+m2，所以OP1∶OP2∶…∶OPn=1a1∶1a2∶…∶1an.則拋物線y=a1x2（a1>0），y=a2x2（a2>0），…，y=anx2（an>0）形狀相同，它們是位似圖形，原點是位似中心.

以上結論說明所有的拋物線形狀都是相同的，換而言之，所有拋物線的開口大小都是相同的.而兩條拋物線的圖象的開口明顯有大小之分，這又該如何解釋呢？以拋物線y=x2和y=14x2為例，首先在圖4中作出了拋物線y=x2和y=14x2的圖象，然后將圖4中y=14x2的圖象放大2倍，得圖5中y=14x2的圖象，不難發現，它與圖4中y=x2的圖象是可以重合的.因此，這兩條拋物線形狀相同，它們的開口大小必然也是相同的.

結論3 拋物線y=a1x2-14a1（a1>0），y=a2x2-14a2（a2>0），…，y=anx2-14an（an>0）是位似圖形，它們的焦點是位似中心.（證明略）

由結論3可知，拋物線的位似中心并不是唯一的，其頂點和焦點均可作為位似中心.

2.橢圓與雙曲線

結論4 若橢圓C1∶x2a21+y2b21=1（a1>b1>0）與橢圓C2∶x2a22+y2b22=1（a2>b2>0）離心率相同，則它們是位似圖形，原點是位似中心;反之亦然.

證明 設直線l的方程為y=mx（m>0），則這條直線與橢圓x2a21+y2b21=1（a1>b1>0）與x2a22+y2b22=1（a2>b2>0）分別相交于P1（a1b1b21+a21m2，a1b1mb21+a21m2）、P2（-a1b1b21+a21m2，-a1b1mb21+a21m2）、P3（a2b2b22+a22m2，a2b2mb22+a22m2）、P4（-a2b2b22+a22m2，-a2b2mb22+a22m2）.令c21=a21-b21，c22=a22-b22.

若橢圓C1與橢圓C2離心率相同，所以e=c1a1=c2a2，易得b1a1=b2a2（*）.令a1a2=b1b2=δ（常數），OP1OP3=1+m2·a1b1b21+a21m21+m2·a2b2b22+a22m2=a1b1a2b2·b22+a22m2b21+a21m2=δ2a2b22a22+m2a1b21a21+m2=δb22a22+m2b21a21+m2，由（*）式可得OP1OP3=δ.同理，OP2OP4=δ.所以橢圓C1與橢圓C2是位似圖形，原點是位似中心，δ為位似比.

若橢圓C1∶x2a21+y2b21=1（a1>b1>0）與C2∶x2a22+y2b22=1（a2>b2>0）是位似圖形，原點是位似中心.則滿足a1b1b21+a21m2a2b2b22+a22m2=a1a2=b1b2=δ，其中δ為位似比.則a1b1b21+a21m2a2b2b22+a22m2=δ2a2b22a22+m2a1b21a21+m2=δb22a22+m2b21a21+m2=δ，所以b21a21+m2=b22a22+m2，即b21a21=b22a22，故c1a1=c2a2，因此橢圓C1與橢圓C2離心率相同.

結論5 若雙曲線C1∶x2a21-y2b21=1（a1>0，b1>0）與雙曲線C2∶x2a22-y2b22=1（a2>0，b2>0）離心率相同，則它們是位似圖形，原點是位似中心;反之亦然.（證明略）

利用證明結論4的方法可以類似地證明結論5，在此不再贅述.同時，如果將結論5中雙曲線C1和雙曲線C2關系式分別改為y2a21-x2b21=1（a1>0，b1>0）和y2a22-x2b22=1（a2>0，b2>0）則結論亦成立.

3.圓錐曲線的統一形式

在極坐標系中，運用圓錐曲線的統一定義，可得圓錐曲線統一的極坐標方程ρ=ep1-ecosθ（*）.

當0<e<1時，方程（*）表示橢圓;當e=1時，方程（*）表示拋物線;當e>1時，方程（*）表示雙曲線.

結論6 離心率相等的圓錐曲線C1，C2是位似圖形，反之，若圓錐曲線C1，C2是位似圖形，則它們的離心率相等.（證明略）

? 參考文獻：

[1]林群.數學九年級下冊[M].北京：人民教育出版社，2014：36.

[責任編輯：李 璟]