二項式定理兩類常見錯誤警示

摘 要：二項式定理是初中多項式乘法的拓展延伸，是高考的必考內容，經常以填空題或選擇題的形式出現，從近三年的全國卷的高考試題來看：試題難度不大，多為容易題或中檔題.筆者結合近幾年來的高考備考經驗發現，在二項展開式中系數和問題與系數最值問題中容易出現兩類錯題，下面就這兩類易出錯問題介紹一下自己的淺見，供大家參考.

關鍵詞：二項式定理;系數和;系數最值;準確性;規范性

中圖分類號：G632????? 文獻標識碼：A??? ??文章編號：1008-0333（2020）34-0018-02

收稿日期：2020-09-05

作者簡介：高振寧（1983.4-），男，本科，中學一級教師，從事高中數學教學研究.

二項式定理是歷年高考的必考內容，考查的方式相對比較穩定，主要考查以下兩點：（1）考查二項展開式的通項公式，包括求展開式的指定項、常數項、有理項等.（2）考查二項式系數的性質，特別關注賦值法處理系數和以及二項式系數和問題.筆者在研讀文[2]后，

發現解答二項式定理問題中的兩種常見錯誤.

錯誤類型1 二項展開式中系數和易錯問題

根據二項式定理，可以得出常見形式的二項展開式（a+b）n=C0nan+C1nan-1b+…+Crnan-rbr+…+Cnnbn，文[2]中指出，設f（x）=a0+a1x+a2x2+…+anxn，則f（x）的展開式各項系數之和為f（1），奇數項系數和為a0+a2+a4+…=f（1）+f（-1）2，偶數項系數之和為a1+a3+a5+…=f（1）-f（-1）2.需要指出，二項展開式不一定是升冪排列的，比方說，（2x+1）n=C0n（2x）n+C1n（2x）n-1+…+Cnn（2x）0，當然寫作（2x+1）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn形式上是可以的，但實際上是不準確的，很容易出錯.不論怎么書寫，明確奇數項系數和與偶數項系數和還是要靠二項展開式的通式，實際上當n為偶數時，（2x+1）n的展開式中奇數項系數和為a0+a2+a4+…+an，偶數項系數和為a1+a3+a5+…+an-1，升冪排列，還是降冪排列沒有區別，當n為奇數時，（2x+1）n的展開式必須寫作（2x+1）n=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0，奇數項系數和為an+an-2+…+a1，偶數項系數和為an-1+an-3+…+a0，如果此種情況下利用升冪排列式兩者是顛倒的.下面一個此類問題的具體題目來展示一下.

例1 （2020山東新泰中學高二期末考試）已知（2x-1）n的二項展開式中，奇數項的系數和比偶數項的系數和小37，則

C1n+C2n+C3n+…+Cnn=（? ）.

A.28? B.28-1? C.27? D.27-1

錯誤解答 設（2x-1）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，令x=-1，得（-3）n=a0-a1+a2-a3+…+（-1）n-1an=-（3）7，

故（-3）n=-（3）7，得n=7.則C1n+C2n+C3n+…+Cnn=27-1.

錯因分析 因（2x-1）n=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0，則當n為偶數時，偶數項系數和為S偶=an-1+an-3+…+a1，奇數項系數和為S奇=an+an-2+…+a0.令x=-1得（-3）n=S奇-S偶=-37，顯然無解.

當n為奇數時，偶數項系數和為S偶=an-1+an-3+…+a0，奇數項系數和為S奇=an+an-2+…+a1.令x=-1得（-3）n=S偶-S奇=37，因n為奇數，故也無解.此題是一個錯題，如果把（2x-1）n改成（1-2x）n，利用升冪形式的二項展開式，就可以求出正確答案.二項展開式應該嚴格按照通式展開，必須明確是升冪展開式還是降冪展開式.

錯題類型2 二項展開式中系數最值易錯問題文[2]中指出，求系數最大的項采用不等式法，設第r+1項系數為Pr+1最大，則有以下不等式成立.

Pr+1≥Pr，Pr+1≥Pr+2.但是在實際過程中，此種方法是有應用范圍限制的，注意到0≤r≤n-1，r∈N，則只有系數最值不是首尾兩項時才可以使用.用下面的一個例題來展示說明.

例2 求（2x+14x）8展開式系數最大項和最小項.

錯誤解法 設（2x+14x）8的第r+1項為Tr+1，則Tr+1=Cr8（2x）8-r（14x）r，即Tr+1=28-rCr8x16-3r4.不妨設第r+1項的系數最大，則可得

28-rCr8≥29-rCr-18，28-rCr8≥27-rCr+18，解得2≤r≤3，因r∈N，故r=2，3，系數最大的項為：T3=1792x5/2和T4=1792x7/4.

設r+1項系數最小，則可得28-rCr8≤29-rCr-18，28-rCr8≤27-rCr+18，解之r≥3，r≤2，

無解.故系數最小的項不存在.

正確解法 同錯誤解法，Tr+1=28-rCr8x16-3r4，設第r+1項的系數是tr+1，則tr+2-tr+1=27-rCr+18-28-rCr8=27-rCr8（6-3r）r+1.而r∈N，則r=0，1時tr+2>tr+1，當r=2時tr+2=tr+1，當r≥3時tr+2<tr+1，可得

t1<t2<t3=t4>t5>t6>…，故系數最大項為T3=1792x5/2和T4=1792x7/4，

t1=256，t9=1，故系數最小的項是T9=1x2.

傳統解決二項式系數最大項與最小項問題的方法是不等式法，設Tr+1項系數最小，隱含著系數最小項的r范圍是1≤r≤n-1，但實際上0≤r≤n.不等式法求解最值項的三個不足之處：（1）需要解兩個不等式，計算量較大;（2）不等式組有解時，說明系數最值在中間項取到，若不等式組無解，并不是系數最值項不存在，而是說明最值項不在中間項，而是在首尾兩項中取得;（3）不等法的運用有局限性，不等式組只能反映局部關系，不能反映整體情形.系數數列的單調性法成功地克服了不等式法的局限，可以完美解決系數最值問題.但是利用系數單調性法在確定其單調性時利用的是作差法，一定是tr+2-tr+1，需要特別注意0≤r≤n-1這個范圍.從整體上來看，系數數列單調性法有非常大的優點，希望在以后的教學中，擯棄不等式法，推廣系數數列單調性法.

參考文獻：

[1]張永花.二項式定理及其應用[J].中學數學教學參考，2020（03）：69-72.

[2]朱德意.二項式定理及其應用[J].中學數學教學參考，2019（04）：52-55.

[責任編輯：李 璟]