高中數學解題中線性規劃的有效應用

摘 要：線性規劃是實現數與形溝通的重要方式，蘊藏著數形結合、化歸以及轉化等數學思想，在數學解題中有著重要的作用，提供新的解題思路和視角.線性規劃是高三數學不等式內容的重要知識點，是學生必須掌握的知識點內容，也是學生解題中常見的輔助方式，在學生之后的學習和解題中有著重要作用.在高中數學解題中，借助線性規劃解決最值問題、不等式問題以及函數問題等.文章中分析線性規劃在高中數學解題中的應用策略.

關鍵詞：高中數學解題;線性規劃;應用策略

中圖分類號：G632????? 文獻標識碼：A????? 文章編號：1008-0333（2020）34-0032-02

收稿日期：2020-09-05

作者簡介：徐芹（1984.7-），女，安徽省淮北人，研究生，中學一級教師，從事高中數學教學研究.

高中數學解題中，線性規劃的應用和解題是考試的熱點和難點，線性規劃是一種有效的解題輔助工具，在很多數學問題中廣泛使用，優化解題過程，提高學生解題效果和質量.作為高中數學教師，需要引導學生利用線性規劃解題，培養學生良好的解題意識，發揮線性規劃的優勢，明確數學問題解題思路，簡化數學解題計算，有效解答數學問題.結合具體的數學解題，引導學生掌握線性規劃應用技巧，不斷地歸納和總結，更好地利用線性規劃解決問題，提高學生解題能力.

一、線性規劃思想遷移，解決函數最值問題

高中數學教學中，函數知識是重要的內容，函數最值求解是函數解題的重點和難點，也是高考數學中?？嫉膬热?在函數最值解題中，解題的方式有很多，應當根據題目特點，靈活選擇解題方式，保證解題效率.利用線性規劃解決函數最值問題，是一種有效的解題方式，特別是特殊的二元函數最值解題，降低問題解答難度，保證學生快速解決函數問題.

例1 當a2+b2-4a+6b+11=0時，求a+b+4的最值.

分析 在解題時，需要對題目進行分析，結合已知條件進行轉化，之后根據線性規劃知識，繪制相應的圖形，完成函數最值的解答.根據已知條件得出（a-2）2+（b+3）2=2，如圖1所示，是以（2，-3）作為圓心的圓，其半徑是2.假設k=a+b+4轉化得出b=-a+k-4，表現在坐標系中是和b=-a相平行的一簇平行直線，其在b軸的截距是k-4.當圓和直線相切時，截距存在最值.通過這樣進行計算，得出|2-3+4-k|2=2，求解得出k的值為1或者5，因此，得出a+b+4的最小值是1，最大值是5.

高中數學函數最值求解時，根據題目條件進行分析，借助數形轉化思想，靈活利用線性規劃方式，明確問題解題思路，保證題目有效解答.

二、有效利用線性規劃，解決數列問題

高中數學教學中，數列是重要的知識內容，其數學概念和公式比較多，數列問題解題難度比較大，也是高考數學考查的重要內容.數列范圍問題是數列問題中的典型問題，題目綜合性比較強，通常情況下常將數列范圍問題轉化成函數問題解題，但是，一些數列范圍問題不適合構造函數，影響學生解題.因此，教師可以引導學生將數列問題轉化成不等式問題，通過變形將原問題轉化成線性規劃問題，完成數學難題解答.

例2 已知數列{an}為等差數列，Sn為數列的前n項和，S4≥10，S5≤15，求a4的最大值.

分析 在解題的過程中，需要對題目中的已知條件進行分析，根據已知列出相應的不等式組，2a1+3d≥5，a1+2≤3，a4=a1+3d.通過這樣的分析，實現問題的轉化：已知實數x、y滿足2x+3y≥5，x+2y≤3，求解z=x+3y的最大值.通過這樣的轉化之后，引入線性規劃方法，畫出相應的直角坐標系，標記出不等式表示的區域和z的直線，找出距離最大的點，則是其最大值.通過這樣的思考和解題，主要利用等差數列的基本量，利用首項和公差進行思考，將等差數列性質和線性規劃思想結合，完成數學問題解題，提高學生解題能力.

三、利用線性規劃，解決不等式問題

不等式是高中數學的重要內容，題目綜合性強，和方程、函數、概率等知識有著非常大的聯系.在部分不等式問題求解中，解題難度大，解題過程復雜，影響學生解題效率.在這樣的情況下，引導學生嘗試線性規劃解題，利用數形結合思想，將相關數量關系和信息直觀展示出來，使得解題更加簡便快捷，保證解題準確性和解題效率.

例3 已知x、y為實數，并且滿足x2+y2≤1，求證：4-2≤|x+y|+|y+1|+|2y-x-3|≤6.

分析 根據已知條件x2+y2≤1，可以得出-1≤y≤1，-1≤x≤1.令t=|x+y|+|y+1|+|2y-x-3|=|x+y|+x-y+4.如果x+y≤0，t=4-2y，如圖2中所示，可行域則是x+y=0的左下方的部分，因為y的取值范圍是[-1，22]，得出t=4-2y的取值范圍是[4-2，6].如果x+y≥0，那么t=2x+4，那么其可行域則是直線x+y=0的右上方部分，通過相應的計算，可以得出直線和圓的交點分別是（-22，22），（22，-22），此時x的取值范圍是[22，1]，得出t=2x+4的取值范圍是[4-2，6]，完成題目問題的驗證.

在解題的過程中，將不等式的轉換和獲得可行域是解題的關鍵，根據題目已知進行分析，通過相應的換元獲得可行域，將其轉化成線性規劃問題.此題要求學生具有比較強的思維能力，題目有著一定的深度，實現學生的全面考查.

四、利用線性規劃，解決向量問題

向量具有代數形式和幾何形式的雙重特點，將數與形融為一體.在向量問題解答中，從數的角度來說，其思路將幾何問題轉變成坐標和符號，結合坐標進行適當的變形處理，完成解答，也可以將其轉化成線性規劃問題，對題目進行思考和解答，保證學生解題效率和準確性，提高學生數學解題能力.

例4 在平面直角坐標系xOy中，A、B、C是圓x2+y2=1上不同的三個點，如果存在實數λ、μ滿足OC=λOA+μOB，求λ2+（μ-3）2的取值范圍.

分析 在向量問題解題時，需要借助坐標系，完成線性規劃問題的轉換.設OA和OB的夾角是θ，并且θ∈（0，π），將OC=λOA+μOB兩邊同時平方，可以得出1=λ2+μ2+2λμcosθ，根據λ、μ為實數，可以得出1<λ2+μ2+2λμ且1>λ2+μ2-2λμ，以此在建立相應的平面直角坐標系，畫出相應的約束條件，如圖3所示.約束條件如下：

λ+μ>1，-1<λ-μ<1，λ>0，μ>0，得到相應的可行域，根據λ2+（μ-3）2的幾何意義，結合圖形找出最小值是定點C到直線λ-μ=1的距離，求解其取值范圍是（2，+∞）.

高中數學解題中，線性規劃應用比較廣發，通過線性規劃求解函數最值問題，解決平面幾何的相關數學問題.應用線性規劃解決數學問題，可以減少運算量，將抽象內容轉變成直觀圖形，化繁為簡，實現數學問題快速準確解答.作為高中數學教師，在解題中引導學生樹立數形思想，有效利用線性規劃，掌握有效的解題方式，巧妙解決數學難題，樹立學生學習自信心，提高學生解題能力.

? 參考文獻：

[1]接彥.線性規劃在高中數學解題中的應用[J].語數外學習（高中版上旬），2019（11）：37.

[2]范粵.線性規劃思想在高中數學解題中的應用[J].數理化學習（教育理論），2017（02）：4-5.

[責任編輯：李 璟]