借助構(gòu)造法 打破圓錐曲線“藩籬”

摘 要：圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)階段的重難點(diǎn)之一，構(gòu)造法旨在抓住題目重點(diǎn)，根據(jù)題目已給信息來構(gòu)造各種有利于解題的工具，比如構(gòu)造方程或不等式，幫助學(xué)生有效解決圓錐曲線的問題，突破圓錐曲線解題的藩籬.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);圓錐曲線;構(gòu)造法

中圖分類號(hào)：G632????? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A????? 文章編號(hào)：1008-0333（2020）34-0011-02

在圓錐曲線類型的題目中，構(gòu)造法能很好地發(fā)揮學(xué)生的創(chuàng)造性思維.在應(yīng)用構(gòu)造法解決圓錐曲線時(shí)，我們要善于結(jié)合題目要求以及自身聯(lián)想構(gòu)造出滿足條件的數(shù)學(xué)對(duì)象，使圓錐曲線題型的解法突破常規(guī)，另辟蹊徑.

一、構(gòu)造不等式求解參數(shù)范圍

探求圓錐曲線中的參數(shù)取值范圍是近幾年高考考查的熱點(diǎn)與難點(diǎn)，學(xué)生要善于深入題目條件，挖掘題中的隱含信息構(gòu)建與參數(shù)有關(guān)的不等式或者不等式組，將題目所求問題轉(zhuǎn)化為求解不等式或不等式組的問題.

例1 設(shè)點(diǎn)M和N分別是橢圓C：

x2a2+y2=1（a>0）上不同的兩點(diǎn)，線段MN最長(zhǎng)為4.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）若直線MN過點(diǎn)Q（0，2），且OM·ON>0，線段MN的中點(diǎn)為P，求直線OP的斜率的取值范圍.

分析 （1）當(dāng)線段MN為長(zhǎng)軸時(shí)，長(zhǎng)度最長(zhǎng)，4=2a，a=2，可得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;（2）直線MN的斜率存在且不為0，設(shè)方程為y=kx+2，將其與橢圓的方程聯(lián)立可得（1+4k2）x2+16kx+12=0，由Δ>0來構(gòu)造不等式，并求解不等式，結(jié)合韋達(dá)定理求出直線OP斜率的取值范圍.

解答 解：（1）因?yàn)榫€段MN最長(zhǎng)為4，所以4=2a，即a=2，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y2=1.

（2）直線MN的斜率存在且不為0，設(shè)其方程為y=kx+2，

二、構(gòu)造方程求解最值問題

對(duì)于圓錐曲線這類復(fù)雜的數(shù)學(xué)題，往往會(huì)出現(xiàn)自變量與因變量的概念，因此我們可以根據(jù)需要結(jié)合有利的數(shù)學(xué)條件來進(jìn)行思路框架的設(shè)計(jì).針對(duì)題目的未知參數(shù)，將有關(guān)的條件構(gòu)成方程組，通過解方程組最終確定最值或是確定范圍.

例3 已知?jiǎng)訄AC過點(diǎn)P（0，4），且在x軸上截得的弦長(zhǎng)為8.

（1）求動(dòng)圓的圓心C的軌跡方程;

（2）當(dāng)點(diǎn)Q在橢圓E：y24+x2=1上移動(dòng)，過點(diǎn)Q作曲線C的兩條切線記作QA，QB，其中A，B為切點(diǎn)，橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為D（0，2），求|AD||BD|的最大值.

分析 （1）設(shè)圓心C的坐標(biāo)，及圓與x軸的其中一個(gè)交點(diǎn)M，由橢圓可得C的坐標(biāo)之間的關(guān)系，即求出動(dòng)圓C的軌跡方程;

（2）設(shè)A，B，Q的坐標(biāo)，求直線AB的方程并與橢圓方程聯(lián)立，構(gòu)造方程組，求出兩根之和及兩根之積，由題意得|AD||BD|的表達(dá)式，由Q的坐標(biāo)的范圍求出其最大值.

解答 （1）設(shè)動(dòng)圓的圓心C（x，y），M為圓與x軸的其中一個(gè)交點(diǎn)，則|PC|=|CM|，則x2+（y-4）2=y2+42，可得x2=8y（x≠0），當(dāng)x=0也滿足方程，所以圓心C的軌跡方程為x2=8y.

構(gòu)造法善于利用題目的有利條件，將難以直接解決的參數(shù)問題轉(zhuǎn)化到方程或函數(shù)等數(shù)學(xué)問題上來，便于學(xué)生理解，也能提高學(xué)生的解題效率.應(yīng)用構(gòu)造法解決圓錐曲線的問題，有助于學(xué)生理解圓錐曲線的實(shí)際應(yīng)用.

參考文獻(xiàn)：

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[責(zé)任編輯：李 璟]

收稿日期：2020-09-05

作者簡(jiǎn)介：宋德銀（1981.8-），男，安徽省天長(zhǎng)人，碩士研究生，中學(xué)一級(jí)教師，從事數(shù)學(xué)教學(xué)研究.