初中數(shù)學(xué)競賽中因式分解方法

鄭婷文

摘 要：因式分解是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，也是初中數(shù)學(xué)競賽中重要的組成部分，為了對學(xué)生進(jìn)行思維訓(xùn)練，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，本文通過一些數(shù)學(xué)競賽的具體實(shí)例對競賽中因式分解方法分類討論。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)競賽;因式分解方法;數(shù)學(xué)思想

1、因式分解的重要性

數(shù)學(xué)競賽所涉及到的知識源于教材，也是教材內(nèi)容的延伸與拓展，其中滲透的一些數(shù)學(xué)思想，對學(xué)生有著重要的啟發(fā)作用。對于因式分解的學(xué)習(xí)，大多數(shù)學(xué)生在練習(xí)競賽題時(shí)，只在不停地重復(fù)做題，一味的套公式背口訣，而不能總結(jié)因式分解方法，更不能發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想[1]，導(dǎo)致學(xué)生在遇到新的題型時(shí)，不能做到舉一反三。因此只有理解其中的含義，將思想方法總結(jié)到位，才能更易掌握因式分解的內(nèi)容。

2、競賽中因式分解方法

把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的乘積的形式，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解[2]。因式分解與整式乘法互為逆變形：

其中，m為公因式，可以表示單項(xiàng)式或多項(xiàng)式。以下就是一些常用的因式分解方法。

2.1 提取公因式法

例1 分解因式（x-y）2n+1+2（x-y）2n（y-z）-（x-z）（x-y）2n

分析：注意到（y-x）2n=）（x-y）2n，

原式=）（x-y）2n [）（x-y）+2（y-z）-（x-z）] =（x-y）2n（y-z）。本題考查的是提公因式法，將（x-y）2n作為公因式提取出來，要注意的是括號中要化到最簡。

2.2 公式法

因式分解中的公式法是應(yīng)用最廣泛的方法之一，公式應(yīng)用得當(dāng)，能使解題變得游刃有余。因式分解中的常用公式有平方差公式、完全平方公式、三項(xiàng)和完全平方公式、完全立方公式、立方和公式、立方差公式等[3]。許多競賽題中，會將兩種及以上的公式結(jié)合進(jìn)行考察，這就要求學(xué)生熟練掌握公式的用法。

例2 分解因式：a6-b6

分析：解法一：先平方差，再立方差。

原式=（a3 ）2-（b3 ）2=（a3-b3 ）（a3+b3 ）=（a-b）（a2+ab+b2 ）（a+b）（a2-ab+b2 ）=（a-b）（a+b）（a2+ab+b2 ）（a2-ab+b2 ）

解法二：先立方差，再平方差

原式=（a2 ）3-（b2 ）3=（a2-b2 ）（a4+a2 b2+b4 ）=（a2-b2 ）（a4+2a2 b2+b4-a2 b2 ）=（a-b）（a+b）[（a2+b2 ）2-a2 b2 ]=（a-b）（a+b）（a2+ab+b2 ）（a2-ab+b2 ）

就本題而言，解法一明顯優(yōu)于解法二，對于很多學(xué)生來說，他們會認(rèn)為a4+a2 b2+b4是不能再進(jìn)行因式分解的，因此因式分解的方法可能會不相同。

例3 已知248-1可以被60到70之間的某兩個(gè)數(shù)整除，則這兩個(gè)數(shù)分別是 ? ? ? ? ? ? ? ? 和 ? ? ? ? ? ? ? ?。

分析：248-1=248-12=（224+1）（224-1）=（224+1）（212+1）（212-1）=（224+1）（212+1）（26+1）（26-1）=（224+1）（212+1）（26+1）（26-1）（23+1）（23-1）.將題中的式子因式分解后發(fā)現(xiàn)（26+1）、（26-1）這兩項(xiàng)恰好在60到70之間，因此248-1可以被65和63整除，本題的答案為65和63。題目所要用到的公式并不復(fù)雜，這題的關(guān)鍵在于要將因式分解到底，隨后找出數(shù)值符合題意的因式。

2.3 （雙）十字相乘法

例4 分解因式：x2-2xy-8y2-x-14y-6

分析：

原式=（x-4y-3）（x+2y+2）

對于常見的二次六項(xiàng)式，可以利用雙十字相乘法將各平方項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分解，十字相乘的得交叉項(xiàng)系數(shù)，注意需要同時(shí)確保三個(gè)十字都能滿足對應(yīng)的交叉項(xiàng)。

2.4 主元法

當(dāng)題目中含有多個(gè)字母時(shí)，可選擇一個(gè)作為主要的“元”，將其他字母看作常數(shù)，并按之降冪排列，然后再用十字相乘法[4]。上一節(jié)中例4也可以利用主元法進(jìn)行因式分解。

例4解法二：原式=x2+（2y+1）x-8y2-14y-6=x2-（2y+1）x-2（4y+3）（y+1）=（x-4y-3）（x+2y+2）.

2.5 分組分解法

對于只含有四項(xiàng)的因式而言，可以采用“兩兩分組”和“三一分組”兩種方法進(jìn)行分解。

例5 分解因式：ax2 （y3+b3 ）+by（bx2+a2 y）.

分析：原式= axy3+ab3 y+b2 x2 y+a2 by2=xy（ay2+b2 x）+ab）（ay2+b2 x）=（ab+xy）（ay2+b2 x）

本題采用的是兩兩分組的方法，對于項(xiàng)數(shù)較多的題，首先要觀察各項(xiàng)系數(shù)，把系數(shù)相同或有規(guī)律的項(xiàng)結(jié)合分組，問題往往能迎刃而解。

例6 分解因式1+a+b+c+ab+ac+bc+abc.

分析：原式=（ab+a+b+1）c+a+b+c+1=（ab+a+b+1）（c+1）=[a（b+1）+b+1]（c+1）=（a+1）（b+1）（c+1）

2.6 換元法

如果題目中含有一些重復(fù)的單元，那么可以嘗試使用換元法，可使題目整體變得簡潔易解。

例7 分解因式：（6x-1）（4x-1）（3x-1）（x-1）+9x4

分析：原式=[（6x-1）（4x-1）] [（3x-1）（x-1）]+9x4=（6x2-7x+1）（12x2-7x+1）+9x4.

設(shè)6x2-7x+1=t，原式=t（6x2+t）+9x4=（9x2-7x+1）2.

2.7 添拆項(xiàng)法

例8 分解因式：x5+x+1

分析：解法一：原式=x5-x2+x+1+x2=x2 （x-1）（x2+x+1）+x+1+x2=（x2+x+1）（x3-x2+1）.

解法二：原式=x5+x4+x3+x2+x+1-x4-x3-x2=（x3+1）（x2+x+1）-x2 （x2+x+1）=（x3-x2+1）（x2+x+1）

例9 分解因式：x3+2x2-5x-6.

分析：解法一：拆常數(shù)項(xiàng)

原式=x3+1+2x2-5x-7=（x+1）（x2-x+1）+（x+1）（2x-7）=（x+1）[（x2-x+1）+（2x-7）]=（x+1）（x2+x-6）=（x+1）（x-2）（x+3）.

解法二：拆一次項(xiàng)

原式=x3+2x2+x-6-6x=x（x2+2x+1）-6（x+1）=x（x+1）2-6（x+1）=（x+1）[x（x+1）+6]=（x+1）（x-2）（x+3）.

解法三：

原式=（x3+x2 ）+（x2-5x-6）=x2 （x+1）+（x+1）（x-6）=（x+1）（x2+x-6）=（x+1）（x-2）（x+3）.

對于很多題目而言，添項(xiàng)、拆項(xiàng)的方法并不止一種，有時(shí)可以通過添拆項(xiàng)達(dá)到可以配方的目的，或者將因式拆解成一次因式的形式。當(dāng)然，添拆項(xiàng)的意義并不止于此，只要用心思考大膽嘗試，一定能有新的發(fā)現(xiàn)。

2.8 待定系數(shù)法

待定系數(shù)法是適用范圍最廣的一種解法，當(dāng)一個(gè)方程不存在有理根時(shí)，因式定理就不再適用于因式分解，因此需要選擇待定系數(shù)的方法，但是這個(gè)方法計(jì)算量較大，一般不作為首選解法[5]。

例10 分解因式：x4-x3+4x2+3x+5.

分析：設(shè)原式=（x2+ax+b）（x2+cx+b），其中a，b，c，d為整數(shù)，展開得，原式=x4+（a+c） x3+（b+d+ac） x2+（ad+bc）x+bd，由多項(xiàng)式恒等定理，得

由于b，d是整數(shù)，故解得或，當(dāng)然也可能是或，兩個(gè)二次項(xiàng)系數(shù)相同，故將代入，解得a=1，c=-2.故原式=（x2+x+1）（x2-2x+5）.

三、總結(jié)

初中因式分解的基本步驟有“一提，二套，三交叉，四分組”。題目可能并不復(fù)雜，要在思想上能做到一個(gè)“巧”字，才能一擊即中。但競賽題中因式分解常常會以一題多法的形式對學(xué)生進(jìn)行考驗(yàn)，這就要求學(xué)生熟悉掌握所有解題方法并能熟練運(yùn)用。

參考文獻(xiàn)：

[1]朱菊根. 數(shù)學(xué)思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透[J]. 新課程學(xué)習(xí)：上（2期）：72-73.

[2]房慶偉. 初中數(shù)學(xué)因式分解方法探析[J]. 語數(shù)外學(xué)習(xí)：八年級， 2014， 000（003）：P.53-53.

[3]魏江. 初中因式分解方法[J]. 讀寫算（教育教學(xué)研究）， 2013， 000（037）：209-209，210.

[4]范端喜.數(shù)學(xué)奧林匹克[M].上海科學(xué)普及出版社，2016.

[5]錢衛(wèi). 初中數(shù)學(xué)典型”易錯(cuò)題”的分析與思考[J]. 考試周刊， 2011（86）：84-86.