高三數(shù)學(xué)單元復(fù)習(xí)課的設(shè)計(jì)初探

初元微

摘 要：數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的目的是梳理知識(shí)體系，強(qiáng)化知識(shí)間的聯(lián)系與溝通，理解知識(shí)的內(nèi)涵，并形成認(rèn)知新的網(wǎng)絡(luò)。要想幫助學(xué)生取得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最佳效果，教師必須向?qū)W生提供充分經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，并引導(dǎo)他們?cè)谧灾魈剿骱秃献鹘涣鞯倪^(guò)程中真正理解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)和技能、數(shù)學(xué)思想和方法。

關(guān)鍵詞：高三復(fù)習(xí);知識(shí)梳理;融合貫通

高三二輪數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)過(guò)程，是培養(yǎng)學(xué)生的思維能力的關(guān)鍵時(shí)期，我設(shè)計(jì)了《數(shù)列及數(shù)列的極限》主題單元復(fù)習(xí)課。在課堂上我創(chuàng)設(shè)了一些有效的情景教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思、總結(jié)，情景教學(xué)可以著重于學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，使學(xué)生在學(xué)習(xí)中能夠發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，提出問(wèn)題并解決問(wèn)題。在這個(gè)體驗(yàn)問(wèn)題解決問(wèn)題的過(guò)程中，可以有效發(fā)展他們的知識(shí)結(jié)構(gòu)，鍛煉他們概括、提煉思想方法，提高問(wèn)題解決的能力。

《數(shù)列及數(shù)列的極限》一章歷來(lái)是高考的重點(diǎn)，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。數(shù)列作為一類(lèi)特殊的函數(shù)，既有函數(shù)研究的思想蘊(yùn)含其中，又有因n∈N*帶來(lái)的挑戰(zhàn)。根據(jù)二輪復(fù)習(xí)的特點(diǎn)和學(xué)生的情況，我進(jìn)行如下設(shè)計(jì)，希望學(xué)生能通過(guò)“理解概念本質(zhì)——構(gòu)建系統(tǒng)的知識(shí)框架”的過(guò)程逐步達(dá)到“發(fā)展數(shù)學(xué)能力”的目標(biāo)。

一、回顧知識(shí)，深化概念理解

《數(shù)列》一章的主要概念包括：數(shù)列、通項(xiàng)公式、遞推公式、等差（比）數(shù)列、數(shù)列的前n項(xiàng)和、數(shù)列的極限以及無(wú)窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和等。其中尤為重要的是對(duì)等差（比）數(shù)列的概念、數(shù)列的前n項(xiàng)和的概念、數(shù)列的極限的概念和無(wú)窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和的理解，在歷年高考中，多有體現(xiàn)。為此，在復(fù)習(xí)過(guò)程中，我先選擇與“概念理解”有關(guān)的例題和練習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生抓住概念的本質(zhì)，加深對(duì)相關(guān)概念的理解，如例1和例2：

例1. （1）（07.上海.文14）數(shù)列{an}中， ，則數(shù)列{an}的極限值為（ ? ? ?）

A.等于0 B.等于1 C.等于0或1 D.不存在

本例題是對(duì)極限定義中“在n無(wú)限增大的變化過(guò)程中，an無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù)A”的辨析，需要學(xué)生深刻理解極限的定義。

例2.（2016.上海.文14，理11）無(wú)窮數(shù)列{an}由k個(gè)不同的數(shù)組成，Sn為{an}的前n項(xiàng)和. 若對(duì)任意n∈N*，Sn∈{2，3}，則k的最大值為 ? ? ? ? ? ? ? ? 。

本例題是考察學(xué)生對(duì)“數(shù)列前n項(xiàng)和”的理解，只是將此概念與 “集合元素的互異性”的性質(zhì)結(jié)合起來(lái)，特別要注意前n項(xiàng)和要從S1=a1開(kāi)始，結(jié)合分類(lèi)討論的思想，就可以比較順利地解決。

以上兩道例題在當(dāng)年的高考試卷中的試題位置都表明它們屬于中高檔題目，得分情況也確實(shí)不樂(lè)觀。這說(shuō)明有相當(dāng)一部分同學(xué)對(duì)概念的理解是浮于表面的，僅僅達(dá)到“識(shí)記”的層次，碰到問(wèn)題時(shí)不能進(jìn)行有效的理解和轉(zhuǎn)換，也就無(wú)從談應(yīng)用。實(shí)際教學(xué)中，我們發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)概念的理解不到位在高中階段各章節(jié)都有體現(xiàn)，但若想進(jìn)行更深層次的學(xué)習(xí)，理解概念、抓住概念本質(zhì)是必不可少的準(zhǔn)備。因此，在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師應(yīng)善于引導(dǎo)學(xué)生加深對(duì)概念本質(zhì)的理解，這會(huì)起到事半功倍的效果。

二、合理聯(lián)系，構(gòu)建系統(tǒng)性知識(shí)結(jié)構(gòu)

經(jīng)過(guò)系統(tǒng)的一輪復(fù)習(xí)，學(xué)生已了解和掌握了大量的知識(shí)、技能和方法，只是很多知識(shí)都局限于一個(gè)主題單元內(nèi)部，或只能進(jìn)行淺層次的勾連。高三年級(jí)二輪復(fù)習(xí)階段，要引導(dǎo)學(xué)生從單一的主題單元跳出來(lái)，更具有宏觀意識(shí)，培養(yǎng)深層次構(gòu)建知識(shí)體系的能力。“數(shù)列”作為一類(lèi)特殊的函數(shù)，它的很多研究方法與函數(shù)類(lèi)似，如對(duì)數(shù)列單調(diào)性、周期性和最值的研究都是類(lèi)比函數(shù)的研究方法。另外，作為數(shù)列中的兩大典型題目：求數(shù)列的通項(xiàng)公式和求數(shù)列的前n項(xiàng)和則有許多約定俗成的方法，這些方法也往往可以與函數(shù)、三角、二項(xiàng)式定理等等聯(lián)系起來(lái)。這就要求學(xué)生不能孤立地掌握“倒序相加”、“錯(cuò)位相減”、“累加（乘）法”等方法，而是要有意識(shí)地與其他知識(shí)相結(jié)合。如下面兩例：

1.（2018奉賢二模15）已知正數(shù)數(shù)列{an}是公比不等于1的等比數(shù)列，且，若，則f（a1）+f（a2）+…+f（a2019）=（ ? ?）。

A.2018 B.4036 C.2019 D.4038

解析：利用對(duì)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)“l(fā)ogaM+logaN=loga（M·N）（M>0，N>0）”可知“”，這種首末位置的提示讓人自然聯(lián)想到“當(dāng)時(shí)，是否為定值”，經(jīng)求證檢驗(yàn)后再利用“倒序相加求和”即可。

2.（2019.崇明一模12）已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足：①，②對(duì)任意的n∈N*，都有an+1>an成立.函數(shù)滿(mǎn)足：對(duì)任意的實(shí)數(shù)，總有兩個(gè)不同的根，則{an}的通項(xiàng)公式是 ? ? ? ? ? ? ? 。

解析：對(duì)函數(shù)，它是一個(gè)的周期函數(shù)，又因?yàn)椤皩?duì)任意的實(shí)數(shù)，總有兩個(gè)不同的根”可知，，再由“疊加法求通項(xiàng)公式”即可得到。

此題對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)應(yīng)是一道比較有難度的題目，因不但涉及到對(duì)三角函數(shù)、分段函數(shù)、含有絕對(duì)值的函數(shù)的理解，還有數(shù)列中用“累加法”求通項(xiàng)公式的掌握，以及細(xì)微處對(duì)給定區(qū)間上解的個(gè)數(shù)的把握。教學(xué)中，可通過(guò)學(xué)生討論、教師關(guān)鍵處點(diǎn)撥等方式，帶領(lǐng)學(xué)生體驗(yàn)“認(rèn)真讀題、合理聯(lián)系、層層抽絲剝繭、最終解決問(wèn)題”的過(guò)程。

從以上幾個(gè)例題可以看出，高三階段的很多問(wèn)題都具有典型的綜合性，從單一模塊來(lái)看往往都難以解決，這時(shí)候要學(xué)會(huì)利用已有的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行類(lèi)比、聯(lián)想和遷移，問(wèn)題才能得到較好地解決。因此，教師要善于在復(fù)習(xí)過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生對(duì)知識(shí)間的聯(lián)系進(jìn)行構(gòu)建，幫助學(xué)生形成數(shù)學(xué)的整體意識(shí)。當(dāng)然，在題目的設(shè)計(jì)和選擇上，要符合維果茨基的“最近發(fā)展區(qū)”原理，題目的條件之間的聯(lián)系是學(xué)生“跳一跳”就能達(dá)到的水平，而不是跨越過(guò)大，否則題目雖然解法巧妙，但并不利于學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯思維的培養(yǎng)。

三、正向遷移，關(guān)注核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析。學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)水平的達(dá)成不是一蹴而就的，具有階段性、連續(xù)性、整合性等特點(diǎn)。

正所謂“無(wú)招勝有招”，在我的理解，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)就是學(xué)生對(duì)于新的數(shù)學(xué)問(wèn)題，根據(jù)已經(jīng)掌握的基本知識(shí)、基本技能、數(shù)學(xué)的基本思想方法去探索、去假設(shè)、去推斷驗(yàn)證，用邏輯推理方法的規(guī)則去厘清各種關(guān)系、找出一個(gè)可以解決問(wèn)題的途徑。下例就是這樣一道典型的題目。

（2010.閔行二模23）對(duì)于無(wú)窮數(shù)列{an}，若對(duì)于任意的n∈N*，滿(mǎn)足且（M是與n無(wú)關(guān)的常數(shù)），則稱(chēng)數(shù)列{an}為T(mén)數(shù)列.

（1）若，判斷數(shù)列{an}是否為T(mén)數(shù)列，說(shuō)明理由;

（2）設(shè)，求證：數(shù)列{bn}是T數(shù)列，并求常數(shù)M的取值范圍;

（3）設(shè)數(shù)列，問(wèn)數(shù)列{cn}是否為T(mén)數(shù)列？說(shuō)明理由。

解析：本題是一道陳題，但不失為一道好題。第（1）、（2）兩小題主要是考察學(xué)生學(xué)習(xí)新事物的能力，即根據(jù)定義，做出正確地理解，并能利用已有經(jīng)驗(yàn)解決問(wèn)題。定義中，數(shù)列是T數(shù)列需要滿(mǎn)足兩個(gè)條件實(shí)際上是“有最值”和以往接觸過(guò)的“凸函數(shù)”，第（1）題具體考察的是數(shù)列中一類(lèi)常用的“分類(lèi)討論n的奇偶”的方法，以及“舉反例”的證明方法;第（2）題考察的是數(shù)列中“利用定義法求最值”的思想，也屬于常規(guī)題。第（3）題看似要求較高，但實(shí)際上可有如下兩個(gè)可能：一是聯(lián)系“凸函數(shù)”的圖像，瞬間就能理解只有當(dāng)時(shí)，數(shù)列{cn}才可能是“凸函數(shù)”，而且必須保證，得出;二是即使不能理解“凸函數(shù)”，只要數(shù)據(jù)分析和處理的能力夠，通過(guò)常規(guī)思路，去掉“絕對(duì)值”，再由數(shù)列中常用的“檢驗(yàn)有限項(xiàng)——?dú)w納——猜想——驗(yàn)證”的過(guò)程，也可以解決。

核心素養(yǎng)的最終目標(biāo)是“教會(huì)學(xué)生學(xué)習(xí)”，“新定義題”就是對(duì)“學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)”的考察。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生不但要能較好地理解“新的定義”的內(nèi)涵與外延，更要學(xué)會(huì)利用已有知識(shí)解決相關(guān)問(wèn)題。

總結(jié)

總之，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課應(yīng)具有重復(fù)性、概括性、系統(tǒng)性、綜合性和反思性的特征。通過(guò)復(fù)習(xí)，學(xué)生更好地把握知識(shí)間的聯(lián)系、理解知識(shí)的內(nèi)涵，擴(kuò)展原有的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，體驗(yàn)到掌握數(shù)學(xué)思想方法的必要性。教學(xué)中，教師要精心設(shè)計(jì)，在有限的時(shí)空下，有計(jì)劃、有層次地開(kāi)展豐富的教學(xué)活動(dòng)，為學(xué)生搭建思維的階梯，學(xué)生才能充分經(jīng)歷解決問(wèn)題——模仿運(yùn)用——?dú)w納反思——形成能力的過(guò)程，讓學(xué)生在體驗(yàn)、思考和發(fā)展中獲得成功的快樂(lè)。“多一點(diǎn)思考，少一點(diǎn)復(fù)雜計(jì)算;多關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)，少一些高超技巧”是近年來(lái)上海高考題的主要特征，這是對(duì)學(xué)生理解數(shù)學(xué)的核心概念和結(jié)構(gòu)、掌握通式通法的解題技能、發(fā)展優(yōu)秀的思維品質(zhì)的考察，我在教學(xué)過(guò)程中努力圍繞這個(gè)理念進(jìn)行設(shè)計(jì)和題目的選擇。

參考文獻(xiàn)：

[1]普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組（2018年版）[M].北京：高等教育出版社，2018.5：59-69.

[2]何玲，黎加厚.促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)[J].現(xiàn)代教學(xué)，2005（5）：29-30.