立體幾何代數(shù)化

摘 要：立體幾何是高中學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)，文科生的空間想象能力普遍偏弱，筆者主要分析了立體幾何中一些重要題型，通過(guò)立體幾何代數(shù)化，有效降低對(duì)學(xué)生空間想象能力的要求，讓文科生更容易解決問(wèn)題，提高教學(xué)的有效性。

關(guān)鍵詞：立體幾何、空間想象能力、代數(shù)化、外接圓、外接球

高中階段進(jìn)入立體幾何的學(xué)習(xí)，跟初中的平面幾何相比，對(duì)學(xué)生的空間想象能力提出了更高的要求，對(duì)于很多文科生來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)本來(lái)就弱，而立體幾何更是難上加難，甚至有不少學(xué)生就是因?yàn)楦杏X(jué)立體幾何太難才轉(zhuǎn)投文科數(shù)學(xué)的懷抱。按正常來(lái)說(shuō)，理科的立體幾何難度肯定高于文科，然而對(duì)于文科生來(lái)說(shuō)，立體幾何真的會(huì)變?nèi)菀讍幔?/p>

在高中的數(shù)學(xué)教材中，立體幾何被分成了兩個(gè)部分。第一部分：學(xué)習(xí)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、三視圖和直觀圖;簡(jiǎn)單空間幾何體表面積和體積;空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系;線面平行和垂直的性質(zhì)定理和判斷定理，這是必修2的內(nèi)容，共18課時(shí)。這一部分主要是培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力，文理科生都要學(xué)習(xí)，對(duì)文理科生要求是相同的。第二部分：理科生還要學(xué)習(xí)選修2-1中的空間向量與立體幾何，這一部分引入空間向量，在幾何圖形的基礎(chǔ)上，利用空間向量來(lái)證明空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系及求角、面積、體積等。這是用代數(shù)的方法解決幾何問(wèn)題，在一定程度上降低了空間想象能力，提高了對(duì)學(xué)生計(jì)算能力的要求，又體現(xiàn)幾何代數(shù)化的過(guò)程，而文科學(xué)生對(duì)這一部分是不作要求的。

正因?yàn)榭臻g向量對(duì)文科生不作要求，他們要解決立體幾何問(wèn)題必須完全通過(guò)圖形，而無(wú)法將立體幾何代數(shù)化來(lái)處理。事實(shí)上，文科生和理科生的思維方式差異較大，文科生的抽象思維水平不高，空間想象能力普遍偏弱，然而計(jì)算能力未必弱于理科生，換一種說(shuō)法，計(jì)算能力也比空間想象能力容易提高，如果立體問(wèn)題只能通過(guò)圖像，無(wú)法通過(guò)計(jì)算，那就無(wú)形中就加大了立體幾何的難度。所以對(duì)于文科生來(lái)說(shuō)，立體幾何不是變?nèi)菀琢耍歉y了。本文主要是探究一下對(duì)于立體幾何中的某些重點(diǎn)問(wèn)題，我們能否將它代數(shù)化以降低對(duì)學(xué)生空間想象能力的要求，讓文科生更易于解決問(wèn)題，提高教學(xué)的有效性。

一、線面垂直模型外接球問(wèn)題的代數(shù)化

例1：已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)均在同一球面上，其中△ABC是正三角形，PA⊥平面ABC，，則該球的表面積為（ ）

A.8π B.16π C.32π D.36π

這題是福建省龍巖市2017年高中畢業(yè)班教學(xué)質(zhì)量檢查的第10題，是一道比較典型的外接球問(wèn)題，對(duì)學(xué)生的空間想象能力要求是比較高的，因?yàn)閭?cè)棱PA⊥平面ABC，所以考慮將三棱錐補(bǔ)成柱體。過(guò)B作PA的平行線，過(guò)P作AB的平行線，兩條平行線相交于B'點(diǎn)，同理過(guò)C作PA的平行線，過(guò)P作AC的平行線，兩條平行線相交于C'點(diǎn)，連接B'C'，這樣就構(gòu)成了一個(gè)正三棱柱ABC-PB'C'，

所以球心O就在上下底面外接圓圓心（正三角形的中心）DD'的中點(diǎn)處，OB'就是外接球的半徑。

我們可以進(jìn)一步探究，如果把上題做一個(gè)小小的變動(dòng)，將三棱錐改成四棱錐，已知四棱錐P-ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)均在同一球面上其中底面ABCD是正方形，PA⊥ABCD，，求該球的表面積。這時(shí)候會(huì)發(fā)現(xiàn)解題思路是一樣的，也是講四棱錐補(bǔ)成四棱柱，球心也是在上下底面外接圓圓心（正方形的中心）連線的中點(diǎn)處。

因此我們可以得到一個(gè)統(tǒng)一的模型，在線面垂直模型（一條直線垂直于底面）的外接球問(wèn)題中，外接球半徑，其中r1是底面外接圓的半徑，h是垂線的長(zhǎng)度。這樣可以把這種類型的題目代數(shù)化，有效的降低了對(duì)空間想象能力的要求，學(xué)生碰到這類題目只要解決一個(gè)平面三角形的外接圓問(wèn)題即可，這樣在教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生更易于接受，有效性得到了很大的提高。

二、面面垂直模型外接球問(wèn)題的代數(shù)化

將這題改編一下，例2：已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)均在同一球面上，其中ΔPAB、ΔABC是正三角形，面PAB⊥平面ABC，，則該球的表面積為_(kāi)______

例1與例2不同之處在于，例1是線面垂直模型，例2是兩個(gè)平面互相垂直即面面垂直模型。

分別找出ΔABC、ΔPAB外接圓的圓心O1，O2，過(guò)O1作ΔABC的垂線，過(guò)O2作ΔPAB的垂線，兩條垂線相交于O點(diǎn)，O點(diǎn)就是外接球的球心。OA的長(zhǎng)就是外接球的半徑。

可以看到這道題對(duì)學(xué)生的空間想象能力要求更高，很多學(xué)生甚至都找不到球心的位置，這種題目對(duì)于很多文科生來(lái)說(shuō)會(huì)望而卻步，那么能不能將這種題目代數(shù)化呢？我們將這題推廣一下，推廣到面面垂直模型（兩個(gè)平面互相垂直），分別過(guò)兩個(gè)面外接圓的圓心O1，O2做兩個(gè)面的垂線，兩條垂線的交點(diǎn)就是球心O，∴OO1⊥面O1，OO2⊥面O2;AB就是兩個(gè)面的交線，并且我們可以得到AB⊥面OO1CO2，且四邊形OO1CO2是矩形。

我們記外接球的半徑為R，外接圓O1的半徑為r1，外接圓O2的半徑為r2，AB的長(zhǎng)度為d，

所以我們得到了面面垂直模型的外接球公式：，其中兩個(gè)面外接圓的半徑分別為r1，r2兩個(gè)面交線的長(zhǎng)度為d.這樣對(duì)空間想象能力的要求明顯降低了，學(xué)生碰到這類題目只要解決二個(gè)平面三角形的外接圓問(wèn)題就可以求出外接球的半徑。通過(guò)代數(shù)化，這種中等難度的題型一下變得簡(jiǎn)單起來(lái)，無(wú)論是學(xué)還是教，成效都很明顯。

三、二面角模型外接球問(wèn)題的代數(shù)化

我們進(jìn)一步探究一下這種模型，如果兩個(gè)面不是垂直的，假設(shè)兩個(gè)面的二面角為θ，兩個(gè)面外接圓的半徑分別為r1，r2，兩個(gè)面交線的長(zhǎng)度為d，那么外接球的半徑是多少？

分別過(guò)兩個(gè)面外接圓的圓心O1，O2做兩個(gè)面的垂線，兩條垂線的交點(diǎn)仍然是球心O，∴OO1⊥面O1，OO2⊥面O2;AB就是兩個(gè)面的交線，并且我們可以得到AB⊥面OO1CO2，且在四邊形OO1CO2中，，.

當(dāng)θ為鈍角時(shí)，同理也可以得到上述公式，所以我們可以得到二面角模型外接球問(wèn)題的一般公式：

有了上述公式之后，解決這類問(wèn)題就變得容易多了，比如2017年福州市質(zhì)檢的一道題：

A.7π B.12π C.16π D.28π

這道題對(duì)于理科生來(lái)說(shuō)都有不小的難度，更何況是文科生，如果畫(huà)圖用普通方法去解決這道題，能做出的學(xué)生寥寥無(wú)幾，但是有了上面的公式后，連圖都不用畫(huà)，分別求出等邊三角形的外接圓半徑r1=2，的半徑，直接代入可得R2=7，選D。問(wèn)題迎刃而解。

當(dāng)然并不是所有的題目都能代數(shù)化，在解決立體幾何問(wèn)題的過(guò)程中，空間想象能力是必不可少的，代數(shù)化的方法可以適當(dāng)降低某些題型對(duì)文科生的空間想象能力的要求，但不可能代替這種能力，無(wú)論如何空間想象能力的培養(yǎng)還是幾何最根本的要求。對(duì)于文科生來(lái)說(shuō)，我們?nèi)韵Ｍ麄冇休^好的空間想象能力，這對(duì)于他們個(gè)人的核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，對(duì)于自身發(fā)展有著很重要的意義。

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作者簡(jiǎn)介：楊圣煒，性別：男，出生年月：1983年2月，籍貫：福建福州，工作單位：福州格致中學(xué)，研究方向：高中數(shù)學(xué)，學(xué)歷：碩士研究生，職稱：一級(jí)教師，郵編350001。