關于一道數學題的拓展思考

王淳 郝俊奎

一、問題背景

在北京市海淀區2017-2018學年高一下學期期中考試數學試題中有這樣一道題：如圖，棱長為的正方體ABCD-A1B1C1D1繞其體對角線BD1逆時針旋轉θ（θ>0），若旋轉后三棱錐D1-DC1A1與其自身重合，則θ的最小值是;三棱錐D1-DC1A1在此旋轉過程中所形成的幾何體的體積為.

這道題的解決并不算難，只要利用旋轉體的性質和正方體的性質就可以得出旋轉后所得的幾何體為圓錐，底面半徑為2，高度為，θ的最小值是，幾何體的體積為。

二、問題提出

雖說上面的題目解決起來并不算難，但是如果將該試題研究的這個幾何體拓展到研究整個正方體旋轉后得到的幾何體而言那就是另一回事了。

所以將這個問題更一般化：對于一個棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1繞其體對角線BD1旋轉一周后所形成的幾何體是什么？

三、問題分析

由于所要研究的體是一種旋轉體，對于旋轉體而言，可以看成由許多的圓“摞”在一起，所以如果要研究它的形狀不妨從它旋轉的各部分的半徑入手去研究所形成的體的特點。

對于正方體ABCD-A1B1C1D1繞其體對角線BD1逆時針旋轉這一問題而言，可以先將正方體的12條棱分成兩類：第一類是線段D1A1、D1C1、D1D、BB1、BC、BA，這一類線段分出的原因是：①這六條線段的一個端點與線段BD1的一個端點重合②線段的另外一個端點到線段BD1的最遠距離為③這六條線段與線段BD1的夾角都為，所以這六條線段可以看成是“等效”的;第二類是線段B1A1、A1A、AD、DC、CC1、C1B1，這一類線段分出的原因是①這六條線段與線段BD1距離為②這六條線段的端點到線段BD1的距離都是③與線段BD1的夾角都為，所以這六條線段對于體對角線BD1而言在位置上是相同的。進而可知這六條線段對于中間部分幾何體的形成是“等效”的，所以為了研究這個問題的方便，我們就來研究一下線段B1A1的旋轉特點。

通過分析題干不難得出三棱錐D1-A1C1D和三棱錐B-ACB1繞體對角線BD1旋轉后形成圓錐，高度均為，由于，所以由線段B1A1旋轉所形成的幾何體的高度為。

所以通過上述分析，如果尋找到了圓的半徑和每一個半徑所對應的豎直高度之間所蘊含的聯系就可以判斷出由線段B1A1旋轉所形成的幾何體到底是一個什么樣的幾何體了，也就解決了這個問題。

由此易得線段A1B1繞體對角線BD1旋轉后所得的面為雙曲面。

五、方法評析

法一主要是利用了平行投影中的平行于投射面的線段，它的投影與這條線段平行且相等的這個性質，利用平行投影把形成中間部分的半徑平移到同一個面上，再利用旋轉將半徑旋轉到同一條直線上，利用一個中間量去建立這兩個量之間的“橋梁”。

法二主要是利用空間直角坐標系，利用半徑與體對角線垂直這一隱含條件，將用坐標表示出來，直接去尋找的關系，再利用旋轉去解決問題。

作者簡介：王淳（2002.02）男，籍貫：北京市，北京市海淀區教師進修學校附屬實驗學校