借助高考試題 提高高三數學復習效益

彭樸

摘要：把高考試題當作例題或習題來講解，可以吸引學生的注意力，激發學生學習數學的積極性.筆者把2019年上海高考的第18題第（2）問作為例題，組織學生一起討論、探究、交流，學生體驗到解決高考題的樂趣和成就感，取得了良好的教學效果.高三復習課如果多給學生一點自由思考的時間，引導學生積極思考，激發他們探究的熱情，鼓勵他們大膽發表自己的見解，將有助于提高高三復習效益。

關鍵詞：高考試題 ?零點 ?數學思想方法 ?效益

高考數學試題是命題者有意潛心研究、匠心獨運、精心設計的精品，往往蘊含著豐富的數學基礎知識和數學思想方法，具有很高的練習價值與研究價值.一直受到高三教師和學生的青睞，在高三復習時，教師喜歡把高考試題當作例題或習題來講解，可以吸引學生的注意力，激發學生學習數學的積極性，培養學生解題的規范性，幫助學生領會數學思想方法，增強數學學習的能力，提高高三復習的效益.在高三復習函數零點時，筆者聯想到2019年上海高考的第18題第（2）問考到了零點這個知識點，于是課堂上把這道題作為例題，組織學生一起討論、探究、交流，取得了意想不到的教學效果.

一.高考試題

（2019年上海高考數學第18題）已知，.

（1）略

（2）若在時有零點，求的取值范圍.

二、課堂實錄

教師：在時有零點是什么意思？

學生：在有零點，即方程在時有解.

教師：對的，的零點就是方程的根，方程在時有解，如何求的取值范圍，哪位同學來說說？

學生1：問題等價于在內有解，

當時，左邊=，方程無解，舍去.

當時，由，得或，根據求根公式得：，，所以與至少有一個成立.

（1）若，即或

無解.

（2）若，即或，解得：.

綜上，由（1）（2）知.

教師：好！你的解法很自然，直接把方程的根解出來，然后分類討論，當方程的根至少有一個屬于時，求出的取值范圍，運用了方程、分類討論的思想方法.其他同學有沒有不同的解法？

學生2：我覺得學生1的解法涉及到解無理不等式，有點復雜，可以進行參變分離得，令，則函數在上單調遞增，值域為，從而得：.

這時有一名女生迫不及待地舉手示意要展示自己的解答.

學生3：我也是用參變分離的方法，不過我不是直接分離，而是先分離，再求的取值范圍，，函數（）的值域為，所以，解得：.

教師：非常好！解法2和解法3，避開了分類討論，直接把參數或分離出來，將方程的解的存在條件轉化為求函數的值域，運用了函數與方程的思想方法，請問還有沒有不同的解法？

這時，一位班級數學成績中等，性格開朗的男生站起來.

學生4：我覺得他們3位同學的方法都有點復雜，我有更簡單的方法，設，然后令.

這時班級里同學開始小聲議論起來，有學生認為學生4的解法簡單有效，妙！有學生認為高考題不會這么簡單吧，但又找不到這樣解的漏洞.

教師：學生4解答結果是對的，他的解法是否正確？請問學生4，你是怎么想到用這種方法的？

學生4：我是根據零點定理得到的，如果函數在區間上的圖象是連續不斷的一條曲線，并且有，那么，函數在區間內至少存在一個零點，根據題目要求，只需即可.

教師：你們認同他的解法嗎？

教室頓時氣氛變得活躍起來，相互之間開始討論，過了一會兒，數學課代表站起來發言.

學生5：我認為學生4的解答結果雖然正確，但方法不夠妥當，因為零點定理只是說，可以斷定函數在區間內至少存在一個零點，反過來，如果函數在區間內存在零點，推不出，比如，函數在上顯然有零點，但.

教師：好！課代表發現了學生4解法的漏洞，是由于對零點定理的理解產生了偏差.既然學生4的方法是錯誤的，為什么他的解答結果卻是正確的，你能解釋一下原因嗎？

學生5：記，所以只需二次函數在內有零點.

當時，左邊=，方程無解，舍去.

當時，由，得或，要使得與軸的交點在內，分以下情況討論：（1）或，解得：或.

（2）在內有零點.因為對稱軸不在區間內，不可能有2個零點. 時，在內單調遞增;時，在內單調遞減.所以只需，解得：.

綜上，

如果畫出的圖像，可以很容易發現的取值范圍.

教師：好，你到黑板上畫一下圖，畫完圖以后，跟大家解釋一下，其他同學在草稿紙上畫圖，觀察一下圖形的特征.

學生5：記，所以只需二次函數在內有零點.

由于此二次函數的對稱軸為在區間外，所以函數在上具有單調性，且函數圖像恒過點，如圖1，從而在內有零點，等價于：，即，解得：.

教師：非常棒！學生5從數與形兩個角度進行了分析，不僅找到了學生4的答案正確的原因是由于函數在上具有單調性，而且完善了學生4解法，給出了嚴謹的解法，請大家給他點個贊（此時教室響起熱烈的掌聲），大家還有沒有其他的解法？

這時，班長舉手示意.

學生6：我也是用數形結合的方法解的，不過所畫圖形與學生5不一樣.

教師：你也到黑板上畫一下，然后把你的解法分享給大家.

學生6：由移項得，原問題等價于當時，函數

的圖像與函數的圖像

有公共點.由圖2可知，只需滿

足時，兩函數就

有公共點，解得.

教師：非常好！班長將方程的根的存在性問題轉化為直線與部分雙曲線的交點問題，從圖上容易發現有交點的條件.

上課前，我完全沒有意料到到你們會想出這么多好方法，為你們的精彩表現點贊！

三、思考

課前，我本想以例題的形式直接講授這道高考試題的解答，后來，到了課堂上，我突發奇想，這道試題難度不大，學生會怎么解這道題？能否拿到滿分？于是，我改變主意，自己不講，讓學生進行探究、討論、交流，意料之外的是，學生會如此主動、積極參與教學，而且能想到多種方法.借助這道高考試題的探究，學生能正確掌握零點概念、零點定理，領會函數與方程、數形結合、分類討論的思想方法，提升數學學習的能力，體驗到解決高考題的樂趣和成就感，取得了良好的教學效果.

高三數學課由于復習的內容多、難度大、綜合性強，教師上課節奏往往比較快，課堂上沒有足夠的時間留給學生思考、討論、發言交流，這樣的復習效果有時并不理想.如果教學中多給學生一點自由思考的時間，把課堂還給學生，注意傾聽他們的聲音，引導學生積極思考，點燃他們思維之火，激發他們探究的熱情，鼓勵他們大膽發表自己的見解，將有助于提高高三復習課效率.

參考文獻：

[1]王劍明 2015年浙江卷文理“非線性”試題的探究 [J].數學教學，2016（4）：11-14

[2]陳曉明 一節令人難忘的數學公開課[J].數學教學，2016（7）：6-7