試析高中數學中的恒成立問題

吳國連

摘 要：近些年來，隨著我國教育體制的深化改革，素質教育的全面推進，傳統的教學模式已經無法適應當前的教育需求。為此，如何改變這一現狀已經成為教育部分與學校主要面臨的問題之一。在這種形勢下，怎樣有效解決高中數學中恒成立問題是師生共同關注的熱點之一，本文章主要針對這一問題進行了深入的分析與研究。

關鍵詞：高中數學;恒成立問題;解析

恒成立問題作為高中數學學習中的重要構成部分之一，其相關內容的學習與問題的解答長久以來都是學生學習數學中的重點與難點，同時也是數學高考題目中的必考問題之一。為此，如何通過科學高效的方法來快速、準確的解決之一問題已經成為高中生不斷探究的問題之一。為此，下述內容主要針對恒成立的概念、類型與學習方法進行了詳細的敘述。

1.恒成立的基本概念

恒成立主要是在包含有兩個或者是兩個以上未知數取值關于方程或不等式的解或解集無影響的式子基礎上，尋找未知數的取值范圍或解集。

2.高中數學中恒成立的基本類型

2.1類型1

一次函數型：其具體是指在某一個變化過程當中，分別設兩個變量x與y，若二者如果滿足y=kx+b（其中，k為一次項系數，且k≠0，b指任意常數）這一關系，那么就可以認為y是x的一次函數。其中x為自變量，y為因變量（又被稱作函數）。

2.2類型2

二次函數型：在一般情況下，經常將形如y=ax2+bx+c（a，b，c為常數，且a≠0）這種函數稱為二次函數。其中，a為二次項系數，b具體是指一次項系數，c被稱為常數項。X與y分別為自變量與因變量。同時，等號右邊自變量的最高次數為2。

2.3類型3

變量分離型：該類型主要是將一個方程中的含有各個變量項相互分離出倆，從而將原有方程拆分成多個簡單，且只包含一個自變量的常微分方程。通過線性疊加原理來把非齊次方程拆合理拆分成多個齊次方程或者是便于求解的方程。再應用高數知識與級數求解知識來找出多種巧妙的解題方法，并求出每一個方程的通解，最后將通解合理“組裝起來”。

3.高中數學中恒成立問題的解析

3.1定義域中恒成立問題解析

例題：已知f（x）的定義域為[-2，3]，求取函數F（x）=f（x）-f（-x）的定義域。這種類型的試題是較為典型的定義域恒成立問題，在解答這種類型題的過程中，大部分情況下要先從其自身的定義域開始入手，通過-2<=x<=3，學生能力推理出f（-x）中，-2<=-x<=3，要想確保該例題中f（x）與f（-x）共同成立，就要求-2<=x<=2，為此，可以得出統一的結論，F（x）的定義域為[-2，2]。

針對定義域中恒成立這一問題來說，其難度系數均較為簡單。為此，教師在教學的過程中，首先要讓學生熟練掌握函數定義域的具體含義，并從其入手，明確函數對各個條件起到的限制作用，以此來準確的判斷出函數具體的定義域范圍。近些年來，定義域恒成立這一問題在高考數學命題中所占的比重在逐年增加，同時也會將更加復雜的知識穿插其中。學生在解析這類問題時一定要保持沉著冷靜，從已知的實際條件出發，明確多個條件的限制，最后求取出正確的取值范圍。

3.2不等式中恒成立問題解析

在高中數學恒成立問題中，不等式恒成立問題的出題率較高，出題次數較為頻繁。例題：一元二次不等式f（x）=ax2+（2a-4）x+3-a>0，求取出這一不等式中函數x的取值范圍，并滿足不等式的成立條件？在解題這種一元二次不等式方程期間。首先，教師要要求學生靈活掌握與應用一元一次函數與一元二次函數的相關知識，在明確a=0的情況下，不等式會由一個一元二次不等式轉化成一個一元一次不等式，但根據題目中給出的要求，將不等式轉化為一個一元二次不等式。為此，學生要想從根本上保證該不等式的成立，首要明確的問題就是a≠0。其次，學生在求取取值范圍時要反其道而行，先把傳統變量x與常數a的身份進行順利的轉化，把a當作變量，把x當作常量，并要同時設g（a）=（x2+2x-1）a-4x+3，此時，a就在[-1，1]這一區間內，在此基礎上，學生就可以推動出，若x的取值范圍在[-1，1]之間，就可以保證一元二次不等式f（x）=ax2+（2a-4）x+3-a>0的成立。

學生在求解這一類型的恒成立問題中，實現要熟練掌握傳統變量與常量之間的靈活轉換，并準確求取出其子變量函數的具體取值范圍，進而對變量的具體取值范圍進行推斷。通過這種解題思路與解題方式，不僅可以大大降低不等式中恒成立問題的求解難度，同時也可以進一步提高學生計算取值范圍的準確度。為此，該種解題方式應該得到教師與學生廣泛的推廣與應用。

總結：總而言之，恒成立作為一種綜合性較強，內容較為復雜的高中數學問題之一，學生通過單一的解題思路與方法是無法進行解決的。為此，教師在日常關于恒成立問題的教學過程中，要充分重視學生思維的訓練與培養，通過多樣化的練習方法來不斷糾正學生單一的解題思維，幫助學生深入挖掘恒成立問題與特定數學思想方法之間某種特點的練習，以此來實現舉一反三，大大提高學生解決恒成立問題的正確率。

參考文獻

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