基于2019年高考下的導數壓軸題探究

摘 要：導數是鏈接大學和高中的重要知識板塊，高考中導數題是區分考生的分界嶺.在2019年的高考試題中，三角函數與導數交匯的知識，提高了解題的困難程度，三角函數周期性的函數性質，讓解題極值點分類討論越發困難.本文通過近幾年的高考試題的研究，著重對此類問題的解題策略進行分析，希望能得到一些較好的解題啟發.

關鍵詞：導數;三角函數;含參;對稱直線;隱零點;不等式

中圖分類號：G632 ? ? ?文獻標識碼：A ? ? ?文章編號：1008-0333（2020）10-0038-03

收稿日期：2020-01-05

作者簡介：張麗群，中學二級教師，從事高中數學教學研究.

一、恒成立、存在性含參問題

此類題，是高考導數壓軸題中較為常規的一種.分離參數后，加入一次導或者二次導的二次函數分類討論，轉化成去求新構造函數最值的問題.類比，這種思路也適合與導數和三角函數結合的含參數的問題處理.在此類題中，若出現不定型的導函數，那我們還可以對一些層次較好的同學傳授一些大學中對于不定型導函數的處理方法，例如洛必達法則的應用.當然，最好進行分類討論，雖然運算較為繁冗.

例如下面這道題目：考查了利用導數研究函數的單調性，零點等問題，和數形結合的思想方法，難度較大.

二、導數中“對稱直線”的妙用

對較復雜含參的函數，先分離參數，構造一個新的函數，若運算量很大的話，那我們就要思考，能不能將問題等價轉化，并實施轉化分解變形.在考慮零點方面的問題，一般還要轉化成兩個函數來求交點的問題.而且，在導函數的小題壓軸題當中，我們還會遇到，轉化后，兩個函數圖象是關于某一條直線對稱的，或者是某一條曲線的切線等情況.那這條直線的存在就為我們提供了非常好的幾何法方面的思路.我們試著找到這一條直線，然后將題目轉化成兩個差函數來求解，問題就很快地得到處理.

三、導數中的“隱零點”

導數中，最近熱門的話題，非隱零點不可了.圓錐篇章，我們就已經接觸“設而不求”跟韋達定理的完美展示.那在導數這邊，更是把這種思想發揮得淋漓盡致.利用導函數的零點作為解題橋梁，設出零點，用零點來換元或者消元，從而轉化成我們學過的簡單函數來進行求解.比如以下這道題目：本題考查導數的運用：求極值和單調區間，主要考查三角函數的導數和求值，同時考查等比數列的定義和通項公式的運用，考查不等式恒成立問題的證明，屬于難題.

例題3 已知函數f（x）=eaxsinx（x∈[0，+∞）），a>0.記xn為f（x）的從小到大的第n（n∈N*）個極值點.

證明：若a≥1e2-1，則對一切n∈N*，xn<|f（xn）|恒成立.

思路分析 由sinφ=11+a2，可得對一切n∈N*，xn<|f（xn）|恒成立，即為nπ-φ<11+a2ea（nπ-φ）恒成立a2+1a0），求出導數，求得最小值，由恒成立思想即可得證.

四、導數中巧用不等式性質

近幾年的高考中，壓軸題時常出現與不等式知識點交匯的題目.但是加入三角函數不等式的導數問題，還是比較新穎的，具有一定的解題難度.我們可以利用絕對值不等式、三角不等式等，來進行解題.比如以下這道題目：本題主要考查函數的導數以及函數最值的應用，求函數的導數，利用函數單調性和導數的關系，以及換元法，轉化法，轉化為一元二次函數是解決本題的關鍵.綜合性較強，難度較大.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.普通高中課程標準實驗教科書數學選修2-2（A版）[M].北京：人民教育出版社，2001.

[責任編輯：李 璟]