從選做題《極坐標與參數方程》看高考數學的變化

摘 要：以高考數學選做題《極坐標與參數方程》為例，認真剖析高考數學的變化，尤其2019年數學試卷突出數學核心素養的考查，重視揭示數學核心概念的本質屬性，強調數學實際應用和學生的生活體驗.高考試題的創新引導著我們重新去審視教學以及學習過程.

關鍵詞：高考數學;變化;反思

中圖分類號：G632 ? ? ?文獻標識碼：A ? ? ?文章編號：1008-0333（2020）10-0021-03

收稿日期：2020-01-05

作者簡介：羅紅（1986.9-），女，云南省元陽縣人，本科，中學一級教師，從事高中數學教學研究.

高考是我國重要的選拔性考試，是教學的指揮棒，研究高考試題是我們一線教師和學生都應該認真做的事情.近幾年高考數學試題也在不斷的發生變化，以選做題《極坐標與參數方程》全國3卷為例，來看一下試題是怎么“進化”的.

一、題目問題直接，學生容易入手，得分高

2016年這道題第一問問得直接，只需要會轉換方程即可，第二問考查的知識點單一，一個點到直線的距離公式就可以完成.

2016高考新課標全國3 在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為x=3cosα，

y=sinα（α為參數），以坐標原點為極點，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρsin（θ+π4）=22.

（1）寫出C1的普通方程和C2的直角坐標方程;

（2）設點P在C1上，點Q在C2上，求PQ的最小值及此時P的直角坐標.

解析 試題分析 （1）利用同角三角函數基本關系中的平方關系化曲線C1的參數方程為普通方程，利用公式ρcosθ=x與ρsinθ=y代入曲線C2的極坐標方程即可;（2）利用參數方程表示出點P的坐標，然后利用點到直線的距離公式建立|PQ|=d（α）的三角函數表達式，接著求出最值與相應的點P坐標即可.

解析 （1）C1的普通方程為x23+y2=1，C2的直角坐標方程為x+y-4=0.

（2）由題意，可設點P的直角坐標3cosα，sinα，因為C2是直線，所以PQ的最小值即為P到C2的距離dα的最小值，dα=3cosα+sinα-42=2sinα+π3-2.

當且僅當α=2kπ+π6k∈Z時，dα取得最小值，最小值為2，此時P的直角坐標為32，12.

這道題屬于容易題，常規題，只要學生認真學習過，訓練過，那么是可以很快入手并且很容易得滿分，從學生的角度來講，遇到這樣的題就該偷著樂了，所以很多學生當年都選做了這題.

二、題目問題直接，有一定的難度，入手容易解對難 ?2017年第一問雖然也是求方程，但是方程里還含有參數，參數是大部分同學不能理解的一個難點，比起2016年來難度有所增加.

2017高考新課標全國3 在直角坐標系xOy中，直線l1的參數方程為x=2+t，

y=kt（t為參數），直線l2的參數方程為x=-2+m，

y=mk（m為參數）.設l1與l2的交點為P，當k變化時，P的軌跡為曲線C.

（1）寫出C的普通方程;

（2）以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，設l3：ρcosθ+sinθ+2=0，M為l3與C的交點，求M的極徑.

解析 試題解析 （1）消去參數t 得l1 的普通方程l1：y=kx-2;消去參數m得l2的普通方程l2：y=1kx+2.設Px，y，由題設得y=kx-2，

y=1kx+2，，消去k得x2-y2=4y≠0.所以C的普通方程為x2-y2=4y≠0.

（2）C的極坐標方程為

2017年這道題與2016年相比，雖然問題直接，但是里面涉及到的內容很多，學生必須學會從中提煉出關鍵，找到突破口，重點考查了轉化與化歸能力.要懂得遇到求曲線交點、距離、線段長等幾何問題時，求解的一般方法是分別化為普通方程和直角坐標方程后求解，或者直接利用極坐標的幾何意義求解.還要結合題目本身特點，確定選擇何種方程.

這道題題目，第2問不光這種解法，學生也可以把極坐標方程改為普通方程，用普通方程把M點坐標求出，從而求出極徑.

三、題目問題不常規，入手已不容易

2018年這道題難度比2017年略有增加，主要是第一問不好入手，第二問和2017年第二問基本持平.

2018年高考新課標全國3 在平面直角坐標系xOy中，圓O的參數方程為x=cosθ，

y=sinθθ為參數，過點0，-2且傾斜角為α的直線與圓O交于A，B兩點.

（1）求α的取值范圍;

（2）求AB中點P的軌跡的參數方程.

解析 （1）圓O的直角坐標方程為x2+y2=1.

2018年這道題第一問已經不像前兩年一樣簡單，直白，前兩年第一問都是寫方程，學生只需進行簡單訓練就可以完成，至少可以保住5分，但是今年的第一問就是參數，學生最怕的就是參數，所以第一問得分不高，第二問考查的是中點的t的意義以及求法，要考的概念雖然清晰，但在第一問的前提下，這個點也就變成了難點，所以這一年這題學生得分不高.

四、題目讀不懂，無從下手

2019年與前幾年相比，題目新穎，學生必須具備很強的數學閱讀能力才能讀懂題意，這道題也上了今年高考的熱搜，考生普遍反映《極坐標和參數方程》這道選做題越來越難.

2019年高考新課標全國卷3 如圖，在極坐標系Ox中A2，0，B2，π4，C2，3π4，D2，π，弧AB，弧BC，弧CD所在圓的圓心分別是1，0，1，π2，1，π，曲線M1是弧AB，曲線M2是弧BC，曲線M3是弧CD.

（1）分別寫出M1，M2，M3的極坐標方程;

（2）曲線M由M1，M2，M3構成，若點P在M上，且OP=3，求P的極坐標.

2019年這道題學生得分率極低，大部分同學連題目都讀不懂，根本就是無從下手，感覺平時練了那么多題白練了，本來以為數學換湯不換藥，誰知今年連碗都換了，真是刷題無數遍，敗給一片云.

2019年的這道題是突然變難的嗎？其實不然，覺得它難是因為沒有好好研究這幾年這道題的變化，題目從一開始的可以直接下手，慢慢變成需要動腦筋、多計算，再到后來的需要學生從題目中提煉出數學信息，題目考查看似知識點難度在加大，其實考查學生解決問題的能力，不再是單一的知識點的考查，是在跟現實生活接軌，要學生真正懂得數學的意義何在.從這道題的背后，我們也能看出，2019年數學試卷突出數學核心素養的考查，重視揭示數學核心概念的本質屬性，強調數學實際應用和學生的生活體驗，體現數學文化.

高考是教學的指揮棒，從今年的這道題目中我也在思考，在反思，給學生練了那么多，是不是每次都是針對知識點，方程的轉化，t的意義，中點的運用，軌跡的求法……卻缺少對試題提供的信息進行分揀、結合和加工能力的訓練，這就好像在生活中，一個滿身本領的人，遇到問題卻不知道要用什么本領，那他學了這么多又有何用，高考是具有選拔功能的考試，數學試題的命制強調“以能力立意”.以能力立意命題，是從問題入手，把握學科的整體意義，用統一的數學觀點組織材料，對知識的考查著重于理解和應用，特別是知識的綜合性和靈活運用.這就要求考生善于抓住問題的本質，能對試題提供的信息進行分揀、結合和加工，尋找解題途徑.這樣的問題，無現成的題型、模式或方法套用，需要的是創造精神和創新意識.

長期以來數學教師在備課時已經把教材內容進行了提煉，在課堂上通過自己的語言表達給學生，而大部分學生是被動地接受和理解，學生沒有進行課前預習，對數學概念的理解印象不深，時間一長容易忘記.所以，在以后的教學中我們也應該轉變觀念，要注重學生學習知識的體驗，要有一個整體的過程體驗，這就好像授人以漁，不能只教釣魚的方法，還應該讓他學著做魚竿，學著找材料，學著做魚餌，這樣才算是他自己的本領.

數學核心素養的提出，以及今年題目的變化，都在告訴我們要重視數學核心概念的本質屬性，重視數學實際應用和學生的生活體驗，重視數學文化.要著重培養學生閱讀數學、理解數學的能力，更要培養學生提出問題，分析問題，解決問題的能力，這才是學習數學的意義所在！

參考文獻：

[1]2016年普通高等學校招生全國統一考試全國Ⅲ卷.

[2]2017年普通高等學校招生全國統一考試全國Ⅲ卷.

[3]2018年普通高等學校招生全國統一考試全國Ⅲ卷.

[4]2019年普通高等學校招生全國統一考試全國Ⅲ卷.

[責任編輯：李 璟]