賞析如出一轍的六道高考導(dǎo)函數(shù)題

摘 要：歷屆高考數(shù)學(xué)試題凝聚著眾多命題專家的心血和智慧，歷屆高考數(shù)學(xué)試題給我們指出了復(fù)習(xí)備考之道，所以深入研究歷屆高考數(shù)學(xué)試題是高效科學(xué)復(fù)習(xí)備考的不二之法.本文賞析如出一轍的六道高考導(dǎo)函數(shù)題，旨在拋磚引玉，對大家有所啟示和幫助;旨在溫馨提醒高考復(fù)習(xí)備考考生走出題海，走進(jìn)歷屆高考數(shù)學(xué)試題，實現(xiàn)高效復(fù)習(xí)，提升復(fù)習(xí)效益;旨在提議同仁沉下心來加強(qiáng)歷屆高考數(shù)學(xué)試題的研究，實現(xiàn)有效的備考策略，進(jìn)而內(nèi)化自身教學(xué)理念與數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)的提升.

關(guān)鍵詞：高考題;如出一轍;導(dǎo)函數(shù);賞析

中圖分類號：G632 ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A ? ? ?文章編號：1008-0333（2020）10-0004-04

收稿日期：2020-01-05

作者簡介：武增明（1965.5-），男，云南省玉溪市易門人，本科，中學(xué)高級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

試題1 （2010年高考天津卷理科數(shù)學(xué)第21題）已知函數(shù)f（x）=xe-x（a∈R）.

（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值;

（2）已知函數(shù)y=g（x）的圖象與函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，證明：當(dāng)x>1時，f（x）>g（x）;

（3）如果x1≠x2，且f（x1）=f（x2），證明：x1+x2>2.

試題2 （2011年高考遼寧卷理科數(shù)學(xué)第21題）已知函數(shù)f（x）=lnx-ax2+（2-a）x.

（1）討論f（x）的單調(diào)性;

（2）設(shè)a>0，證明：

（3）若函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸交于A，B兩點，線段AB中點的橫坐標(biāo)為x0，證明：f ′（x0）<0.

時隔僅一年，試題2竟然與試題1如出一轍.

試題3 （2013年高考湖南卷文科數(shù)學(xué)第21題）已知函數(shù)f（x）=1-x1+x2ex.

（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間;

（2）證明：當(dāng)f（x1）=f（x2）（x1≠x2）時，x1+x2<0.

時隔僅三年，試題3竟然與試題1如出一轍.

試題4 （2016年高考全國卷Ⅰ理科數(shù)學(xué)第21題）已知函數(shù)f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有兩個零點.

（1）求a的取值范圍;

（2）設(shè)x1，x2是f（x）的兩個零點，證明：x1+x2<2.

時隔僅三年，試題4竟然與試題3如出一轍.

試題5 （2018年高考全國卷Ⅰ理科數(shù)學(xué)第21題）已知函數(shù)f（x）=1x-x+alnx.

（1）討論f（x）的單調(diào)性;

（2）若f（x）存在兩個極值點x1，x2，證明：f（x1）-f（x2）x1-x2

試題6 （2018年高考浙江卷文科數(shù)學(xué)理科數(shù)學(xué)第22題）已知函數(shù)f（x）=x-lnx.

（1）若f（x）在x=x1，x2（x1≠x2）處導(dǎo)數(shù)相等，證明：f（x1）+f（x2）>8-8ln2;

（2）若a≤3-4ln2，證明：對于任意k>0，直線y=kx+a與曲線y=f（x）有唯一公共點.

時隔七年，試題5、試題6竟然與試題2如出一轍.

試題1賞析 （1）f ′（x）=（1-x）e-x.

當(dāng)x變化時，f ′（x），f（x）的變化情況如下表：

-

（3）證明 ①若（x1-1）（x2-1）=0，

由（1）及f（x1）=f（x2），得x1=x2=1，與x1≠x2矛盾.

②若（x1-1）（x2-1）>0，由（1）及f（x1）=f（x2），得x1=x2，與x1≠x2矛盾.

根據(jù)①，②，得（x1-1）（x2-1）<0，不妨設(shè)x1<1，x2>1，由（2）可知，f（x2）>g（x2），g（x2）=f（2-x2），所以f（x2）>f（2-x2），從而f（x1）>f（2-x2）.

因為x2>1，所以2-x2<1.

又由（1）可知函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，1）內(nèi)是增函數(shù)，所以x1>2-x2，即x1+x2>2.

試題2賞析 （1）f（x）的定義域為（0，+∞），f ′（x）=1x-2ax+（2-a）=-（2x+1）（ax-1）x .

-

（3）由（1）可得，當(dāng)a≤0時，函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸至多有一個交點，故a>0，從而f（x）的最大值為f（1a），且f（1a）>0.

（2）解略.

上述試題1、試題3、試題4的最后一問的證明方法都是使用函數(shù)的單調(diào)性定義來證明，試題2和試題5的第（2）問與試題6的第（1）問的證明方法都是尋找待證不等式的等價不等式，然后通過求導(dǎo)或構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)，證明等價不等式.與上述試題1、試題2、試題3、試題4、試題5、試題6如出一轍的還有以下試題7，讀者不妨自己試一試.

試題7 （2018年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽福建賽區(qū)預(yù)賽題）已知f（x）=ex-mx.

（1）若x>0時，不等式（x-2）f（x）+mx2+2>0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍;

（2）若x1，x2為函數(shù)f（x）的兩個零點，證明：x1+x2>2.

參考文獻(xiàn)：

＼[1＼]天利高考命題研究中心.2010高考真題（數(shù)學(xué)·理科）＼[M＼].拉薩：西藏人民出版社，2010.

＼[2＼]天利全國高考命題研究中心，北京天利考試信息網(wǎng).2011全國各省市高考試題匯編全解（數(shù)學(xué)·理科）＼[M＼].拉薩：西藏人民出版社，2011.

＼[3＼]劉增利.2013年全國各省市高考真題匯編及解析（數(shù)學(xué)·文科）＼[M＼].西安：開明出版社，2013.

＼[4＼]曲一線.2016年高考真題詳解（數(shù)學(xué)·理科）＼[M＼].北京：首都師范大學(xué)出版社，2016.

＼[5＼]杜志建. 2018年全國各省市高考試題匯編（數(shù)學(xué)·理科）＼[M＼].烏魯木齊：新疆青少年出版社，2018.

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