構(gòu)造等比型數(shù)列求遞推數(shù)列的通項(xiàng)

摘 要：本文針對(duì)常見(jiàn)的遞推數(shù)列，歸納出一種統(tǒng)一的方法——用待定系數(shù)法構(gòu)造等比型數(shù)列來(lái)求通項(xiàng).

關(guān)鍵詞：遞推數(shù)列;待定系數(shù);等比數(shù)列;通項(xiàng)

中圖分類(lèi)號(hào)：G632 ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? ?文章編號(hào)：1008-0333（2020）10-0056-02

收稿日期：2020-01-05

作者簡(jiǎn)介：王洪信（1972.9-），男，本科，高級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

解決遞推數(shù)列問(wèn)題，求出通項(xiàng)是關(guān)鍵.而求遞推數(shù)列的通項(xiàng)，方法多樣靈活，不易掌握.本文就幾類(lèi)常見(jiàn)的遞推數(shù)列，總結(jié)出一種統(tǒng)一的方法——用待定系數(shù)來(lái)構(gòu)造出等比數(shù)列.這種方法簡(jiǎn)便，易于掌握，實(shí)用性強(qiáng).下面分類(lèi)說(shuō)明.

一、an+1=pan+q（p、q為常數(shù)，p≠1，q≠0）型

這是最常見(jiàn)的一階遞推數(shù)列.用待定系數(shù)法，設(shè)遞推式可化成等比數(shù)列的形式：

與原遞推式比較系數(shù)，可知2x=1，得x=12，這樣有an+1+12=3（an+12）.所以數(shù)列{an+12}是公比為3的等比數(shù)列，該數(shù)列的首項(xiàng)是a1+12=32.

略解 設(shè)遞推式可化為an+x=2（an-1+x），即an=2an-1+x，與原遞推式比較系數(shù)，得x=1.可知{an+1}是公比為2，首項(xiàng)為a1+1=2的等比數(shù)列.故an+1=2×2n-1，得an=2n-1.

二、an+1=pan+f（n）（常數(shù)p≠1）型

其中的f（n）是我們熟知的數(shù)列，如等差數(shù)列、等比數(shù)列等.

1.{f（n）}是等差數(shù)列，即f（n）=An+B.

此時(shí)設(shè)遞推式an+1=pan+An+B可化成an+1+x（n+1）y=p（an+xn+y），即

an+1=pan+（p-1）xn+（p-1）y-x.

與原遞推式比較系數(shù)，得（p-1）x=A，

（p-1）y-x=B，可解出x，y.從而知{an+xn+y}是公比為p的等比數(shù)列.

例3 設(shè)a1=1，an+1=2an+2n+1，求an.

解 設(shè)遞推可化為an+1+x（n+1）+y=2（an+xn+y），即an+1=2an+xn+（y-x）.

2.{f（n）}是等比數(shù)列，即f（n）=rqn.

設(shè)遞推式an+1=pan+rqn可化成an+1+xqn+1=p（an+xqn），即an+1=pan+x（p-q）qn.

與原遞推式比較系數(shù)有x（p-q）=r，解出x，從而知{an+xqn}是公比為p的等比數(shù)列.

點(diǎn)評(píng) 從上述兩例可以看出，當(dāng)f（n）是關(guān)于n的一次式（即等差數(shù)列），那么設(shè)出的待定式也是一次式（如xn+y）;當(dāng)f（n）是關(guān)于n的指數(shù)式（即等比數(shù)列），那么設(shè)出的待定式也是指數(shù)式（如xqn）.簡(jiǎn)言之，設(shè)出與f（n）同型的待定式.

三、an+2=pan+1+qan（常數(shù)pq≠0）型

這是二階遞推數(shù)列，用待定系數(shù)法，設(shè)遞推式可化成等比數(shù)列的形式：

xy=q.可解得x、y的值，從而可知{an+1+yan}是公比為x的等比數(shù)列.再列出關(guān)于an、an+1的方程組，解出an.

例5 （見(jiàn)課標(biāo)教科書(shū)數(shù)學(xué)必修5 P696題）設(shè)a1=5，a2=2，an=2an-1+3an-2（n≥3），求an.

點(diǎn)評(píng) 本例由待定系數(shù)的方程組只得一組解，雖然只能得到一個(gè)含有an+1與an的關(guān)系式，無(wú)法解得an，但這個(gè)關(guān)系式可轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列的問(wèn)題，可方便地求出an.

參考文獻(xiàn)：

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[責(zé)任編輯：李 璟]