一道不等式證明題的解法賞析

摘 要：不等式證明由于方法多樣，技巧性強，證明不等式一般無固定規律可循，有一定難度.突破難點的關鍵在于：理解不等式證明中所需的思想方法，熟練運用不等式的性質，對于有些不等式的證明，通過恰當的設元、構造、拆分，再結合重要不等式進行證明，如：平均值不等式，柯西不等式，排序不等式等，便可找到簡單的證明途徑.本文以一道題為例，用多種解法體會不等式證明中所蘊含的思想方法.

關鍵詞：設元;構造;拆分

中圖分類號：G632 ? ? ?文獻標識碼：A ? ? ?文章編號：1008-0333（2020）10-0047-02

收稿日期：2020-01-05

作者簡介：李寧英（1971.11-），女，新疆克拉瑪依人，本科，中學高級教師，從事高中數學教學研究.

題目 已知x，y，z為正實數，求證：x2x+y+z+yx+2y+z+zx+y+2z≤34.

方法1 恰當設元后利用平均值不等式進行證明.

評析 方法1利用平均值不等式證明的關鍵是分拆和轉化，直接不好分拆時考慮重新設元，將分母設元后，將分母變簡單，拆項后利用均值不等式，注意均值不等式等號成立的條件.

方法2 恰當設元后將要證的不等式等價轉化.

原不等式得證.

評析 方法2通過觀察原式的結構，進行設元，將原不等式進行等價轉化，將要證的不等式變得簡潔，然后再利用柯西不等式進行證明.

方法3 利用調和平均數與算術平均數的關系證明.

評析 方法3巧妙利用調和平均數與算術平均數的關系，根據題目中有關項的結構特征，將原式代數變形后，為運用調和平均數與算術平均數的關系創造條件，算術-調和平均值不等式的變形：1a+b≤14（1a+1b），在許多不等式證明中都有著廣泛的應用.

方法4 構造兩組數，利用排序不等證明.

當且僅當x=y=z時等號成立.

所以x2x+y+z+yx+2y+z+zx+y+2z≤34 得證.

評析 應用排序不等式，構造出恰當的兩個便于排序的數組是關鍵，一般都采用“不防設”的技巧進行排序，借助這種大小順序進行適度的“放縮”，再利用不等式的性質從而得證.

方法5 巧妙拆分后利用柯西不等證明

當且僅當x=y=z時等號成立.

評析 根據不等式的結構特征，觀察左邊每一項分子、分母關系，進行拆分，約掉分子、分母的共同因式，然后再利用柯西不等式進行證明.

通過不等式證明的五種方法，希望對不等式證明中所蘊含的數學思想方法加以梳理，從而找到解決不等式證明的一般方法，大家在今后處理類似問題時加以運用和體會.

參考文獻：

＼[1＼]安振平.證明不等式不妨從排序方法開始＼[J＼].中學數學教學參考（上旬），2015（06）：58-61.

[責任編輯：李 璟]