借助二次函數圖象 攻克函數參數求值問題

摘 要：二次函數圖象是高中數學教學和思維能力培養、傳遞并應用數學方法的良好載體.有關二次函數的問題中涉及到許多數學思想方法和思維能力.本文詳細講解如何借助二次函數圖象，借助數形結合思想實現函數參數求值問題的解決.

關鍵詞：數形結合;參數求值;二次函數

中圖分類號：G632 ? ? ?文獻標識碼：A ? ? ?文章編號：1008-0333（2020）10-0018-02

收稿日期：2020-01-05

作者簡介：陳方圓（1983.5-），女，江蘇省南京人，本科，中學一級教師，從事高中數學教學研究.

數形結合能夠將函數的數量特征通過圖象進行幾何化，或者將函數某些幾何特征轉化為數量特征，將函數數量與幾何特征緊密結合.二次函數作為試題中常遇到的函數，熟悉其圖象和有關性質，可以搭建起求解有關二次函數的參數問題的便捷橋梁.

一、數形轉化，實現參數問題直觀化

二次函數是常見但極其重要的函數之一，許多參數問題都會或多或少地涉及到此函數.利用函數的性質思考函數的圖象，借助函數圖象思考對應的函數，在參數取值求解問題中，巧妙引入數形結合的思想，可以將問題形象直觀地呈現出來，幫助問題又快又好地解決.如：

例1 已知向量a=（x2，x+1），b=（1-x，t），若f（x）=a·b，且f（x）在區間（-1，1）時是增函數，求參數t的取值范圍.

解析 f（x）=a·b=x2（1-x）+（x-1）t=-x3+x2+tx+t，則f ′（x）=-3x2+2x+t.因為f（x）在區間（-1，1）時是增函數，所以f ′（x）≥0t≥3x2-2x在（-1，1）恒成立.令g（x）=3x2-2x即t≥g（x）max，函數g（x）在（-1，13]內單調遞減，在（13，1）內單調遞增，g（-1）=5，g（1）=1，所以t≥g（x）max=5.

反思 借助導數可以研究函數的單調性，借助二次函數的性質求出函數最值;在對二次函數圖象和有關性質熟悉后，有時并不需要將二次函數圖象呈現在解題過程中.

二、數形相配，簡化參數問題求解

在求解參數問題中，會遇到一些方程或者不等式兩邊對應的圖象非常容易作出來，可以將這些方程或不等式的圖象在同一坐標中表示表示出來，借助研究函數圖象的交點或者位置關系，以形助數，實現問題的直觀化，如：

例2 關于x的不等式x-（a+1）22≤（a-1）22與x2-3（a+1）x+2（3a+1）≤0（a∈R）的解集分別是A，B，若AB，求參數a的取值范圍.

解析 此題涉及到集合關系，一般能夠將集合進行表示的就需要將幾何表示出來.由題意得到A=x|2a≤x≤a2+1.不妨設函數f（x）=x2-3（a+1）x+2（3a+1），該函數圖象是一條拋物線，且開口向上.因為AB，所以f（2a）=-2a2+2≤0，

f（a2+1）=（a+1）a（a-1）（a-3）≤0.解得a=-1或1≤a≤3.

反思 此題涉及到集合以及集合關系，需要將能表示的集合盡可能地表示;有關二次函數圖象需要特別熟悉，掌握開口、對稱軸、最值的求解方法，都將給畫圖或解題帶來極大的便利.

三、數形結合，攻克參數取值問題

數形結合可以使得內容更加直觀，從視覺上給解題帶來一定的指引和幫助，再經過縝密的分析和邏輯思考，進而形成解題的完整思路.數形結合需要對函數解析式以及函數相對應的圖形保持敏感性，敏捷靈活地將某類函數與圖象進行等價轉化，如對于非常熟悉的二次函數圖象.熟練將二次函數圖象進行表示，將極大簡化求解步驟，如：

例3 函數f（x）=x3-ax2+bx+5（a，b∈R），若函數g（x）=f（x）-（b-1）x-5，且在區間[1，2]內g（x）是單調遞增的函數，求參數a的取值范圍.

解析 由題意知g（x）=x3-ax2+x，則g′（x）=3x2-2ax+1.（1）當Δ≤0時，即-3≤x≤3時，g（x）在區間[1，2]內是增函數，滿足題意;（2）當Δ>0時，即a<-3或a>3時，滿足題意的要求是：

反思 二次函數是高中數學中極為重要的基礎函數之一，掌握二次函數圖象，熟練將圖象進行呈現，以及靈活運用相關內容，是十分必要的;對二次函數問題中的分類要避免遺漏.

一般而言，高中數學中的函數問題都是基于常規函數進行演變和復合的，對于此類函數，要積極將導數知識進行關聯，并借助數形結合思想，實現問題的直觀化、簡潔化，減少計算量，提高參數范圍問題求解的正確率.

參考文獻：

＼[1＼]馮寅.多參數最大、最小值嵌套問題的研究＼[J＼].理科考試研究（高中版），2017，24（2）：6-9.

＼[2＼]王為民.含參數的二次函數最大、最小值問題的數軸解法＼[J＼].福建中學數學，2004：30-31.

[責任編輯：李 璟]