“迭式放縮”與二次型遞推數列不等式

摘 要：本文主要研究二次型遞推數列不等式的放縮方法和技巧，探求高考數學試卷中數列壓軸題的解題規律.

關鍵詞：遞推數列不等式;迭加放縮;迭乘放縮;迭式放縮;范圍的估計

中圖分類號：G632 ? ? ?文獻標識碼：A ? ? ?文章編號：1008-0333（2020）10-0009-02

收稿日期：2020-01-05

作者簡介：黎平（1975.10-），男，浙江省桐廬人，本科，中學一級教師，從事初等數學和數學教育學.

遞推數列和不等式相結合的問題是高考數學中的熱點和難點題型，2015-2017浙江高考數學試卷的壓軸解答題都是這類問題.解決這類問題的關鍵是巧妙地進行不等式的放縮.實際上，遞推數列不等式的放縮有自身的特定方法和技巧，這樣的方法技巧與迭加公式和迭乘公式有密切的關系.

一、迭加公式和迭乘公式與遞推數列不等式

迭加公式 an-a1=an-an-1+an-1-an-2+…+a2-a1，

迭乘公式 ana1=anan-1·an-1an-2·…·a2a1.

遞推數列中由遞推關系出發進行適當的變形可得

迭加型：an-an-1≤f（n），

迭乘型：anan-1≤g（n）.

這兩類最基本的遞推關系，對于迭加型遞推關系可結合迭加公式進行放縮

an-a1=∑nk=2（ak-ak-1）≤∑nk=2f（k），

這種放縮方法稱為迭加放縮.

對于迭乘型遞推關系可結合迭乘公式進行放縮

ana1=anan-1·an-1an-2·…·a2a1≤g（n）·g（n-1）·…·g（2），

這種放縮方法稱為迭乘放縮.

迭加放縮和迭乘放縮是遞推數列不等式中兩種最重要的放縮方法，這兩種放縮方法可統稱”迭式放縮”.

二、二次型遞推數列不等式與迭式放縮

在遞推數列中，二次型遞推數列an+1=pan2+qan+r有重要的地位，對于二次型遞推數列不等式，我們應運用恒等變形和構造新數列的方法，并結合范圍的估計使之轉化為迭加型an-an-1≤f（n）或迭乘型anan-1≤g（n），從而實現迭加放縮或迭乘放縮.

1.二次型遞推數列與迭加放縮

其中對式子pan2+ranan+1要進行范圍的估計， 從而得到1an-qan+1≤t（或≥t），進一步可化為qnan-qn+1an+1≤t·qn（或≥t·qn），此為迭加放縮.也可將1an-qan+1≤t（或≥t）化為1an-k≤q（1an+1-k），此為迭乘放縮.

例1 （ 2015浙江高考22題第二小題）已知數列an滿足a1=12，且an+1=an-an2n∈N*，設數列 an2 的前n項和為Sn，證明12（n+2）≤Snn≤12（n+1）n∈N* .

分析 遞推公式an+1=an-an2可化為1an+1-1an=anan+1，對其中右式要進行范圍的估計，而anan+1=anan-an2=11-an，所以又要先估計an的范圍.

2.二次型遞推數列與迭乘放縮

利用不動點，an+1=pa2n+qan+r型遞推數列也可化為

an+1=pa2n+qan+r

an+1+m=p（an+m）（ak+k）

an+1+man+m=ak+k.

其中對式子an+k要進行范圍的估計，此為迭乘放縮.

例2 已知數列an滿足a1=1，an+1=a2n+5an+4，求證∑nk=11ak+3>13-19n-1+2.

分析 遞推公式an+1=a2n+5an+4可化為an+1+2=a2n+5an+6=（an+2）（an+3），所以1an+3=1an+2-1an+1+2，不等式左邊∑nk=11ak+3即可用裂項相消法求和.而由an+1+2=（an+2）（an+3）又可得an+1+2an+2=an+3，所以可結合范圍的估計將之化為迭乘型，再用迭乘放縮證明不等式.

證明 由an+1=a2n+5an+4可得an+1+2=a2n+5an+6=（an+2）（an+3），所以1an+1+2=1（an+2）（an+3）=1an+2-1an+3，即1an+3=1an+2-1an+1+2.

所以

從以上幾例我們可以發現迭式放縮在證明二次型遞推數列不等式時起到關鍵作用，而要順利地實現迭式放縮，必須對二次遞推公式進行靈活的恒等變形和恰當的范圍估計.另外1an-qan+1≤t（或≥t）這一類遞推關系在遞推數列不等式問題中經常出現，它與迭加放縮和迭乘放縮都有關聯，在證明遞推數列不等式時，我們一個主要的考慮方向就是將條件化為1an-qan+1≤t（或≥t），再進行迭加放縮或迭乘放縮.

參考文獻：

[1]馮志剛.數列與數學歸納法（第二版）[M].上海：華東師范大學出版社，2012：37-47.

[2]單墫.數學競賽研究教程（上）[M].上海：上海教育出版社，2019：202-209.

[責任編輯：李 璟]