高中數學三角函數中最值問題研究

李耀珍

摘 要：正三角函數的最值問題是學習三角函數的難點之一，也是高中數學中重點學習的項目。本文將針對歷年高考考查的三角函數熱點問題進行研究探討，整理出一些對于三角函數求最值問題最常見、最直接的做法。希望這次的例談三角函數中的最值問題的幾種常見類型能夠給大家的高中數學學習帶來一些幫助。

關鍵詞：三角函數;求最值;最值問題;二次函數;常見類型

一、三角函數中常見的最值問題分析

三角函數的最值問題是高中數學中有關三角函數問題中最常見的一類，也是比較復雜多變的一類，根據這類題型演變出來的題目很多，但其實質上是對含有三角函數的復合函數的求值。在解答三角函數最值為題時，只要記住這是一個二次函數，然后融合在各種復雜環境下，做出復合函數的基本求解動作就可以。遇到任何問題不能亂糟糟的去看，而是要透過現象看本質，一步一步將題目拆解，完成解答。這也是數學思維的本質。

1.y=asinx+b型分析

y=asinx+b型也是最常見的一種，簡單應對起來也比較輕松，大部分的學生還是可以在這里得分的。在做題解答的策略上也沒有特別疑難的地方。據分析只要設t=sinx，化為求一次函數y=at+b在閉區間[-1，1]上的最值。這樣就可以將其轉化為常規的三角函數提醒，利用已學的一些公式一步步劃分計算，最后得到答案。不管是什么樣的求函數只要一步步劃分，總是能夠最終得解的，例如求y=-3sinx+2的最值。也是這種解法。筆者在研究三角函數多種求最值的問題時，經常會遇到這類題型，其解法也較為一致，令t=s作一歸納就能順利完成解題。最值問題遇上二次函數，本身就會將問題復雜化，只要我們耐心梳理，總能夠看透本質，解答出來。

2.y=asinx+bcosx+c型分析

如果大家能夠按照數學老師平時解題的習慣，將每次遇到的三角函數都分門別類的記錄總結下來，這對大家的學習是有很大幫助的。三角函數本身就是一種將基礎知識綜合應用的提醒。在生活中也經常會出現，因此近幾年高考題中三角函數的出現常常伴隨著生活類的題目。大家在解答時要習慣性的建模，這樣有利于問題的順利解答。此類求最值的問題也經常出現在生活類的解答題中，根據題目的要求自行建立三角函數。建立的函數大多數都是這種y=asinx+bcosx+c型，其解法主要是通過三角函數恒等變形，利用已經學過的公式將這些函數轉化，使其劃分的更為簡單，然后借助于它的特性來解決最值問題。

二、三角函數中常見的最值問題解答歸納

將函數關系式化為一個角的一種函數形式就是我們中學課本中所說的三角函數，而生活中展現出來的三角函數模型也很多。筆者在探討三角函數最值問題解答方法的時候發現最常用來解答歸納的行為就是借助于三角函數建模。由此看來，建立模型是解決三角函數特殊性質的最佳方法。下面筆者就將整理歸納的一些三角函數類型與解法舉例說明。

1.y=asinx-asinx·cosx+a+b的解答歸納

例1，已知函數（x）=2asinf2x-23asinx·cosx+a+b（a0）的定義域為[0，2]，值域為[-5，1]，求常數a、b的值。

前面提到過關于y=asinx+bcosx+c型的分析過程，針對y=asinx-asinx·cosx+a+b的解答歸納其實也很好判別。三角函數一般都是利用其求最值，這也是尤其特殊的函數性質所決定的。在本題的解答過程中，只要牢牢記住簡化、歸納的本質方法就行，利用已經學過的公式將函數化為一個角的一種函數的形式。這樣就能夠大幅度的簡化該函數的難易程度，將復雜、看不清思路的函數題簡化成最普通的三角函數。例如本題通過降次之后再加上逆用二倍角公式就可以形成三角函數中的基本函數，也就是高中數學課本上最初出現的y=asinx+bcosx+c型的函數，這樣大家面對著這樣的簡單模型函數應該就知道該如何下手解答了。

2.y=asinx2+bsinx+c的解答歸納

例2，求函數f（x）=2-4asinx-cos2x的最大值和最小值。

三角函數求最值的方法不少，其中最常用的還是利用二次函數閉區間上的特性。在高中課本中出現的最值問題上，多次使用的解答方法都是利用定義域和閉區間上模型歸納。由此可見，無論函數是怎樣的形式出現，都是一個二次函數，這個是改變不了的。常見類型的解答歸納都可以從這道例題上來總結出。在解答時可以化為以sinx為自變量的二次函數，這樣就能在復雜的函數變化中畫出一塊最簡單、有效的定義域區間，然后將二次函數的模型圖畫出來。利用這個球最值得最基本法則將函數值求解出來。對于三角函數的最值問題求解歸納，應引起師生充分的重視。只有將這塊掌握好，才能夠鞏固牢固三角函數方面的數學問題。

結論：作為正三角函數中最為重要的難點問題之一，三角函數求最值問題是必須要攻克的。本文在研究過程中查證了不少例題，上述文章也羅列了一些例題的統一歸納解法。希望各位師生可以針對歷年高考考查的三角函數熱點問題進行鞏固研究，牢牢掌握三角函數求最值問題最常見、最直接的做法。希望筆者的例談三角函數中的最值問題能夠給大家的高中數學學習帶來一些幫助。

參考文獻

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