探秘立體幾何的模型構建

曾敏

摘?要：立體幾何在高中數學中占有十分重要的地位，很多立體幾何問題較為抽象，不易理解，給很多學生學習造成了困擾.立體模型的構建將抽象的立體圖形變得更加具體形象，拓展學生的空間想象，提高解題能力.

關鍵詞：模型構建;空間想象;解題能力

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2020）22-0045-02

模型構建的本質是根據題意進行數學建模，提升空間想象能力.常見的立體幾何模型有長方體（正方體）模型、圓錐模型、球模型、圓柱模型等.用構建模型的方式來看待立幾問題，總結典型的立體模型，有助于提高解題能力.

一、長方體（正方體）模型

類型1?“三視圖”中的應用

例1?某幾何體的三視圖如圖1所示，三個視圖中的正方形的邊長均為6，俯視圖中的兩條曲線均為圓弧，則該幾何體的體積為.

解析?幾何體如圖2，是一個正方體中挖去兩個相同的幾何體（它是14個圓錐），故體積為

63-2×14×13×π×32×6=216-9π.

模型反思?大部分幾何體可通過對正方體或長方體分割得到，所以將三視圖問題放在正方體或長方體模型中研究，能夠快速得到直觀圖.

類型2?“補形”中的應用

例2?已知四面體P-ABC中，PA=PB=4，PC=2，AC=25，PB⊥平面PAC，則四面體P-ABC外接球的表面積為.

解析?依題可知PA2+PC2=AC2，∴PA⊥PC.

又∵PB⊥平面PAC，∴以PA，PC，PB為長、寬、高，作長方體如圖3所示.

則該長方體的外接球就是四面體P-ABC的外接球，

∴長方體外接球的直徑2R=42+42+22=6，得R=3.∴S=36π.

模型反思?觀察條件與模型之間的內在聯系，利用補形的思想可巧妙構造長方體（正方體）模型.如：①三棱錐的三條側棱兩兩垂直，等效于一個“墻角”，可將“墻角”補形構造正方體或長方體;②三棱錐的三組對棱分別相等，等效于一個長方體的三條面對角線，可將三棱錐補形構造正方體或長方體;③正四面體補形構造正方體.

二、圓錐模型

例3?已知矩形ABCD，AB=2，BC=x，將△ABD沿矩形的對角線BD所在的直線進行翻折，在翻折過程中，則（）.

A.當x=1時，存在某個位置，使得AB⊥CD

B.當x=2時，存在某個位置，使得AB⊥CD

C.當x=4時，存在某個位置，使得AB⊥CD

D.x>0時，都不存在某個位置，使得AB⊥CD

解析?在翻折過程中，AB形成以BD所在直線為軸的圓錐側面，作點A關于直線BD的對稱點E，翻折過程中的垂直可轉化為AB能與圓錐的一條母線垂直，結合模型知，最大張角是∠ABE，從而得∠ABE≥90°.即 ∠ABD≥45°.

∴tan∠ABD=x2≥1，∴x

≥2.故選擇C.

模型反思?翻折問題中，抓住共面的線性角不變的性質構建圓錐模型，借助模型量化計算，培養抽象思維與直觀想象.

三、球模型

例4?已知四棱錐P-ABCD的底面為正方形ABCD，△PAD為等邊三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，空間一點M，滿足PM⊥MC，則點M在底面ABCD上的軌跡是（）.

A.圓的一部分?B. 橢圓的一部分

C. 雙曲線的一部分D. 拋物線的一部分

解析?如圖5，空間一點M，滿足PM⊥MC，則點M在以PC為直徑的球面上.

又因為點M在底面ABCD上，所以點M的軌跡是球面與底面ABCD的公共部分，即交集為圓.故選A.

模型反思?抓牢動點的軌跡符合球的結構特征（動點到定點的距離等于定值）.

四、圓柱模型

例5?如圖6，AB是平面α的斜線段，A為斜足，若點P在平面α內運動，使得△ABP的面積為定值，則動點P的軌跡是（）.

A.圓

B.橢圓

C.一條直線

D.兩條平行直線

解析由已知可得動點P的軌跡在圓柱面上.由于AB是平面α的斜線段，所以平面α斜截圓柱面，得到的截面圖形為橢圓.選B.

模型反思?抓住動點的軌跡符合圓柱的結構特征（動點到定直線的距離為定值）.

在探索立體幾何的問題中，巧構立體模型，不但可以提升學生的思維起點，培養學生的空間想象能力，而且還能讓學生發現數學美，體驗數學美.

參考文獻：

[1]張娜.立體模型在高中立體幾何教學中的運用探究[J].課程教育研究，2017（5）：243-244.

[2]劉宏.例談高中數學核心素養之直觀想象的培養[J].中學數學月刊，2019（1）：26-29.

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