數學思想在初中教學中的體現

沈志萍

摘要：數學思想方法是數學內容體系的精髓，其能將學生的技能得到提升，素養得到長進。本文主要探究如何在對初中學生傳授知識的同時，融入數學思想方法，目標是促使數學授課者認識到數學思維方式和數學學習方法在教學中的重要性，以便于師生對其展開學習。本文內容為闡明數學思想方法滲透的原因及意義，介紹滲透數學思想方法的方式，介紹滲透數學思想方法的準則及須知和介紹初中常用的數學思維方式及其應用。

關鍵詞：數學思想方法;中學數學;滲透

前言：《九章算術》和《幾何原本》對數學思想模式產生了很大影響，在方法體系和內涵上有其自身的亮點和風格，但它們的思維方式卻迥然不同，但都是數學思想和方法的起源。在發展史上，數學思想方法歷經了四大轉變：由清晰數學轉變為模糊數學、由常數數學轉變為變量數學、由必要數學轉變為可能數學、由算術轉變為代數。數學思想和方法的幾個主要轉折點的歷史標志著，數學的成長不僅是數量的積累，而且是本質的超越。

人類知識的本質分別是科學的知識、思維方式。進入21世紀后，我國教育觀點產生了很大的變動，為了更好的進行素質教育，我們將逐步擺脫以考試為主的教育方式。科學的思維和方式是構成數學思想的主要成分。它的重要性在新的教育模式中日益顯現。數學思維方式是需要經過進一步思考才能得到的，它把課本上數學內容作為根基，卻又是課本上內容的升華。雖然它不能看到或觸摸，但它總是影響我們的生活和學習。數學思維方式的教授作為數學教育的緊要部分，逐步遭到人們的器重，這可能與人們愈來愈重視人的技能和素養的培養有關。

學習者已經在中學學習了數學。進入社會后，他們很少有機會應用它。因而，無論他們從事怎么樣的崗位，在學校學到的知識都將在幾年后被遺忘。然而，數學的靈魂和思維方式有著不一般的效力，一般是抹不掉的。但我們如今面臨的問題是，數學思維方法在授課中熏陶的重要性還沒有得到充足的表現。只關注數學內容的傳播卻無視知識產生過程中所運用的數學理論，這種強硬的灌輸式授課方式，在數學課堂上屢見不鮮的。事實上，依照傳統的應試教育展開教學，也會有一小部分學習者，能夠在他日后的學習工作中利用所學的數學思維方式處理問題。但更多的是靠自己的奮斗，通過不停地探求獲得某些成就。提倡增強對數學思維方式在授課中的的滲透，目的和意義是：讓學習者減小在黑暗中探究的過程，靈活的運用數學思維方法由無目的、被動的運用轉變為自發、自主地運用。

在大綱中清楚明了的確定數學思想方法是知識的根基，在授課過程中它是引導學生形成完整的認知框架的媒介，是學生把固定的知識轉嫁為自身技能的途徑。因此，數學思維模式是這門學科的精華部分，要想學好它，學習課本上的內容是根基，學習思維方式才是關鍵。盡管我國的教育體質是多年前提出的，素質教育的成果也有所顯現，但我國創新人才培養的最終目標仍然任重而道遠。本文主要講述數學思想方法在初級中學授課中的滲透，期望能對數學教學有所輔助。

1.數學思想方法滲透的原因和意義

在教育質量和教育意義上培養個體思維能力，有利于提升個體思維品質和各種才能。為此，我們從為什么要開展素質教育、數學教育學科的本質和特點、學生個人發展等方面展開了討論。

（1）現階段的教育模式迫使我們滲透數學思想方法：上個世紀八九十年代，《中小學數學課程與評估》中，國內數學學科教師組織研討出了象征“數學素養”的五大標準：具備解決數學問題的本領;領悟到數學的重要性;對教育者們的數學素養有信心;學習數學的思維方式;學習數學言語，學會觀點互換。我國沒有照搬其他國度的教育變革方式，但它依然有很多優點，如重視數學思維方法。我國在多年前就已施行九年制義務教育，相關部門倡導應該把用考試的方式來選取精英的教育，轉為各個方面一齊進步的教育，當然，數學教育也要進行這種教育，這是必不可少的。張典舟教授曾把數學素質總結為以下幾個方面：基本知識的概念;創新能力水平;思維素養;科學的言語程度。其中前三條與數學思維方式之間的聯系更為密切。

（2）教師自身的發展需要重視數學思維方法的滲透：在授課活動中，師長的這個角色有著緊要的作用，被旁人替代是不行的。不僅要教學習者知識，也要組織課堂活動，做學習者的道路上的指引者。授課者的數學素質和授課水平，對滲入數學思維方式的成敗有著重大影響。由于學習方法的數量很多（如函數的思想，想法，幾個形式結合的想法，等）精煉的授課內容，以內容為載體授課，在學習數學內容數學思想上是不能缺少的，因此它是一種暗含的數學內容，需要不竭的學習練習。由此，在數學教科書中直接指出“XX”的概念，“XX”意識，滲透著有計劃、有條理的數學思維方法。例如，教師授課中，講述每一個題目特點或者是剖析題目內容時，都可以強調或解釋此處所蘊涵的數學思想方法，并要求學生有層次的掌握，使他們理解、控制和應用數學方法，這就需要培養多量有素養、有資質的授課者。一個完美的數學授課者不僅要有雄厚的數學功底和精湛的數學知識，更需要有豐碩的教學技能與教育思想。

（3）加強數學思維方法的滲透，有利于優化學生的認知結構：認知結構是學習者在學習中構建的心理框架，也是學習者智力的體現。認知結構就是學習者的思維，包括學習者把握數學學識，理解的學問間的關系，應用數學思維方式等。這能映射出學習者的數學領悟水平，具備個性化的特點。在潛意識中建立自己的數學認知框架，是所有受教育者在學習數學過程中的必由之路。當然，他們自身的認知結構又是另一回事。或者說學習者的數學認知構造就是在學習的進程中，不斷獲得增補和拓展，使其更加“有效”。數學學習思維方式在構建學習者認知結構中有著關鍵影響。

數學體系內部具備規律性，它是數學思維方式的體現，需要學習者在學習的過程不停的總結與領會，從而形成完整的知識框架。例如，在學習許多數學內容中都融合著函數的思想;“——對應”的思想在代數中表現的淋漓盡致。對授課過程來說，數學思維方式很重要。因為學習者的認知結構在數學研習中逐漸形成。最后，能否蘊含重要的數學思維方式，與學習者的數學認知結構能否有效，有著絲絲縷縷的關系。而思想方法的養成與數學思維方法的滲透是密不可分的。良好的思維素養等處處展示著數學思想方法的加入和熏陶。

2.如何滲透數學思想方法

刻板學習和意旨性學習兩種相差甚遠的學習方法是依照奧蘇泊的認知理論提出來的。刻板學習僅限于讓學習者取得數學語言的辨別和識記，定理、公理、公式的定義，領會和記憶（如幾何圖形的面積公式，幾何周長公式），套用公式，模擬示例來處置問題，學會簡單的技能。意旨性的學習，使學習者能夠領悟符號所表達的含義，特別是學問的本質內涵，并可以把握學問之間的關系，通過全面的研討來達到掌握。讓學習者用發展的眼光看問題是數學知識傳播的一個目標，除了知識的獲取之外，數學學習還應該包括完善數學認知結構、擴展思維、提升素養等。它不是機械學習和有意義的學習所能采取的，并且對融入數學的思維方法，有很大的作用。

（1）滲透數學方法，領悟數學思想：數學思想方法不可以當成初級中學單獨的課程，因為初中生基本知識沒有徹底掌握，對于抽象的知識不能完全接受，所以只能在學習課本上內容的進程中，滲入數學思維方式。使學生在潛意識中意識到它的存在在知識逐漸形成和深遠發展的進程中，教師應該抓住機遇，注重數學主要概念的傳授，讓學習者在腦海中逐漸形成解決問題、探索事物規律的本領，從而造就他們的科學創新精神和認識，獲得利用新舊知識相結合來處理問題的才能。倘若我們忽略或縮段這些過程，不顧一切的將知識結論生硬的鑲嵌在受教育的腦海中，這樣熏染數學思想和方法的機遇將會擦肩而過。在初中教材中有《有理數》這一單元，《比較有理數大小》是這一章很重要的一小節，聯系著這一章的整個知識結構，但是部分教材中將它刪去。在學習絕對值后，我們需要將“判斷有理數大小”和“數軸”關聯，運用數字和圖形相結合的思想。但刪除了“比較有理數大小”這一部分后，教學過程過于激進，知識難度難以突破。假如我們在教學中把握循序漸進的準則，數字與圖形相結合的方法會對學習者有所熏陶。

（2）訓練數學方法，領悟數學思想：數學思想和方法種類不少，分為很多難易水平，要想把握好每個程度，進行有效的滲透。初中老師就需要把教材爛熟于心，從教材中提煉和學習數學思想，從各個方面找出每個知識所運用的思想方法。教學要根據初級中學三個年級的特點、學識儲備水平、領會技能和可以接納性，從易到難分層次進行。

（3）掌握數學方法，領悟數學思想：要想徹底駕馭數學內容，就需要經過很多次的訓練。數學思想方式的構建是很漫長的，只有通過不斷訓練，學生才能夠完全掌握。此外，為了使學習者構成自發使用數學思維和方法的認識，學生需要樹立本人的“數學思維和方法體系”，這需要一個充分訓練、時時改善、一直總結的進程。只有學生掌握了學習方法，才能夠在遇到新的問題的情況中，可以不懼怕，可以用曾經學會的思維方式來處置問題。

（4）提煉數學方法，完善數學思想：為了使學習者對數學思維方式有一個明了的看法，在授課的同時中要恰當、及時的提煉和總結。在每一個不一樣的章節中都分散著數學思維方式，用不同的數學思維模式能夠處置同一問題，因而，授課者要對所有數學問題進行泛化的分析。要想使數學思維和方法的教授得到執行。授課者對學習者進行有目的地培養自發總結數學思維和方法的技能非常重要。

3.滲透原則及注意事項

滲透數學思想和方法的終極目標是提高學習者的思維素養和技能，讓個人的整體素養得到長進。它的滲透，主要是在授課活動中體現的，在此進程中，也有注意原則及事項。

3.1滲透原則

（1）化隱式為顯式原則：知識的總是隱含于數學思維方法之中。盡管知識教學中包含著思想方法，但學習者只會注意到最淺層的數學知識，不能深入的領悟其中的思想方法，如果不把思想方法作為授課的基本環節的話，學習者將很難領悟到數學學科的真義。老師在授課過程中必須要把思路弄清楚，把傳授知識作為基本任務，在此進程中，向學習者教授數學思想方法。

（2）漸進原則：只是掌握和理解課本上的知識和一般技能是難以形成數學方法的，學生對事物的本質關系初步的認識是它的基本要求。與此同時，數學思維方式在知識教授過程中的渲染，應使學生順應認知程度的開展，按照順序反復接受，逐步提升技能，才能漸漸學會應用。把不同階段的數學內容結合起來授課。

（3）學生參與原則：數學教學與數學思維教學的區別顯而易見。在知識講授活動中是領會知識本身，強調記憶。數學思維的數學是以實際行動為核心的教學活動。離開數學知識授課活動的數學思維方法授課是不存在的。只有號召學習者進入到授課過程中去，在授課者的引領下才可以逐漸理解、構建、駕馭數學思想方法。獲得一種思想發展的能力，這也是現階段教育模式的目標。

3.2注意事項

數學知識在傳授中的辯證統一性是由數學基本知識和深層知識互相促進的關系決定的，因此我們總是采用操作——理解——掌握的教學模式。而運用這種授課形式時需要非常當心：①學習數學根本方法是融入數學思維模式的中心;②老師在教授學習者每一個教學內容的時候，都要考慮到數學思維方式的浸透;在授課過程中應當引導學習者學會提出、分析、解決問題，不能一味生硬的向學生灌輸課本上的內容;③只管數學思維方式藏匿于表皮知識體系當中，然而，假使授課者沒有專門的將它作為教學的一部分展示出來，學習者本身是基本體會不到的。當然，也就難以在探求知識的過程中使用它。

4.實際應用

數學思想和方法和學習理論是同步開展的，我們要了解他們是在時時構成的，意識到他們的實質本征、思維進程和操作形式，從而達成靈活應用，有意識地一步一步來處理這個問題。其次，它是詳細的數學思維方法，在考慮和處理問題的進程中體現出來，例如在數形結合、分類討論、規劃思想等方面。

（1）數形結合：解析幾何是笛卡爾在歐幾里得幾何、代數的方法之上深研細究、對比分析構建的，給幾何帶來了一種全新的研究方法。經過坐標系，在平面上用兩條曲線代表兩個變量x和y，成為數與形的組合方式，在數學史上有里程碑式的意義。盡管當今的數字形式和思維方式有更廣泛的含義，但本質是一樣的。它采取了代數與幾何方法長處的組合：幾何圖像入眼更直觀，易于了解;代數方法使用寬泛，解決問題的步驟固定，易于操作和理解。因而，數字與圖形相結合的思想在初級中學授課中中是最常用的，也是不可或缺的。

（2）分類討論：所謂分類討論，就是當題目給出的事物不能同一探討時，需要對這個事物展開不同情況下的研究，從本質上講，分類討論就是根據對象的異同處，進行不同類的研究。例如： 在解答這道題的過程中，首先需要對二次項系數 進行如下類：（1） ;⑵ .對于條件⑵，很容易解得不等式;那么對于條件⑴來說，還應繼續對 的取值進行分類： 或 ，因為在這兩種條件下，不等式的解集也不同，想要明確這一點，還會碰到 與 大小關系的確定，故還應該進行分類討論。

（3）化歸思想：化歸思想就是，把處理題目A的方法，變化成處理A*的方法的思維模式。在數學中，往往會把不知道的，難以解決的問題分解成已經知道的，簡略的;把整個問題作為問題的一部分來研討等等，這都是轉化思維方法的詳細表現。

總結：

從教育的立場看，數學知識包括科學的內容和這些內容所反映的數學思維方式。它的根本觀念的更新，體現了數學思維方式對數學授課活動來說的重要性。在這一點上，本文最終引用了米山國藏的看法：科學工作者數學的精神、思維方式是非常須要的，不管其擁有多少數學知識。數學學習的內容是可以記住的，但數學的精神、思想和方法卻從不一樣，這可能是影響我們一生的。不管對哪個行業的人，特別是數學授課者來說，數學的精神、思想和方法，比數學自身的內容要重要的多。

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本文支持項目為：河南省高等學校重點科研項目（19A120003）;河南師范大學青年基金項目（5101019170204）。