基于矩陣初等變換方法配方

朱紅星

摘要：此篇文章旨在探究應(yīng)用基于矩陣初等變換的方法完善線性代數(shù)中配方法求標(biāo)準(zhǔn)型流程，簡(jiǎn)化使用配方法求解復(fù)雜二次型步驟，主要適用于含有兩個(gè)和三個(gè)變量的二次型。通過(guò)變量互換和換元相結(jié)合的方式將二次型的實(shí)對(duì)稱矩陣化為符合特定條件的矩陣形式，進(jìn)而可將二次型化為平方項(xiàng)和的形式，易得此二次型對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)型。

關(guān)鍵詞：實(shí)對(duì)稱矩陣;配方法;標(biāo)準(zhǔn)型

在線性代數(shù)求標(biāo)準(zhǔn)型中，常見(jiàn)方法有兩種，一種是正交變換法，通過(guò)正交變換化成標(biāo)準(zhǔn)型;另一種是用配方法化標(biāo)準(zhǔn)型。本文主要討論第二種方法中將二次型化成只有平方項(xiàng)的形式這部分，繼續(xù)求解可得到標(biāo)準(zhǔn)型。

例如，二次型的配方過(guò)程如下：

若用矩陣等價(jià)變換來(lái)求配方后多項(xiàng)式，則過(guò)程如下：

a）令，則實(shí)對(duì)稱矩陣A=;

b）對(duì)矩陣A作等價(jià)變換，化為階梯型，在行變換過(guò)程中首行元素保持不變，則A～;

c）得到行階梯型矩陣后，將每行首元作為完全平方項(xiàng)的系數(shù)，完全平方項(xiàng)為矩陣第k（k=1，2）行元素除以該行首元后與第k個(gè)變量的積的代數(shù)和的平方，

則可得：

以上只是兩個(gè)變量二次型的特殊形式，推廣到三元二次型的一般形式如下：對(duì)二次型，記該二次型對(duì)應(yīng)的實(shí)對(duì)稱矩陣為B，即B=

若且，則

B～。則二次型f經(jīng)等價(jià)變換后的配方形式如下：

即當(dāng)且時(shí)，任一三元二次型可經(jīng)上述變換化成對(duì)應(yīng)的配方形式，進(jìn)而可得到其標(biāo)準(zhǔn)型。

b）若且，則根據(jù)二次型形式有以下兩種處理方法

1）令與（或）互換，化為符合a）條件的二次型，用a）中方法計(jì)算即可。例如對(duì)二次型，令與互換，此二次型化為，用a）中方法求出，可得。

2）令，，，化為符合a）條件的二次型，用a）中方法計(jì)算即可。例如對(duì)二次型，令，，，此二次型化為，用a）中方法求出。

c）若且，則先將與互換，然后令，，，可化為符合a）條件的二次型，求解即可。例如對(duì)二次型，先將與互換，得，再令，，，此二次型化為，用a）中方法求出，即

d）若且，則先將與互換，然后判斷符合以上a）、b）、c）哪種條件，用上述方法求解即可。例如對(duì)二次型，先將與互換，符合a）條件，得，則。

對(duì)n元二次型來(lái)說(shuō)，該二次型對(duì)應(yīng)的的實(shí)對(duì)稱矩陣為，化為行階梯型矩陣（初等變換只進(jìn)行倍加變換，不進(jìn)行調(diào)行和倍行變換）后，主對(duì)角線元素除第n行首元外全部非零，則可直接得到配方形式。否則，令其中某些元素互換，使其符合上述變換形式，或者時(shí)，作可逆線性變換，，（k=1，2，…n且），化為符合上述形式的階梯型矩陣，進(jìn)而可得到只含平方項(xiàng)的形式。

參考文獻(xiàn)：

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[2]劉慧芳;王曉敏;二次函數(shù)無(wú)約束規(guī)劃的一種直觀解法[A];第九屆中國(guó)青年信息與管理學(xué)者大會(huì)論文集[C];2007年

作者簡(jiǎn)介：河北科技大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院16級(jí)學(xué)生。