平衡觀下問題導向的數學概念課

摘要： 學生在學習新概念時會產生認知沖突，通過同化和順應可尋求沖突的解決，達到平衡狀態.問題能提供引發認知沖突的環境，問題導向讓學生在互動中尋求平衡，促進概念的學習、建構與掌握.

關鍵詞： 平衡觀;概念課;問題導向;反思

概念學習是知識學習的邏輯起點[1：227]，搞好概念教學是傳授知識的首要條件，對于學生知識的掌握、認知結構的完善、思維能力的培養和認知發展都具有重要意義.現代數學教育理論圍繞著數學概念教學的研究在心理發展規律、認知結構、能力培養、教學方法等方面已取得許多成果[2].在目前概念教學的同化模式基礎上，本文試引入順應，在問題導向下實現同化和順應的融合、平衡，尋求數學概念教學的突破.

1?數學概念及其教學現狀

數學概念是客觀現實中的數量關系和空間結構形式的本質屬性在人腦中的反映.它是數學基礎知識的重要組成部分，是判斷和推理的起點.數學概念課的基本要求是“理解、掌握、運用”.在對概念本質和概念獲得的認識，以及實證研究的基礎上，發展出了概念形成模式、概念同化模式、問題引申模式、坦尼森模式等概念教學模式[1：238-246].其中概念同化模式以其簡潔、有效的優點成為學生概念教學的最基本模式[3，4].

概念教學的上述模式各有優點，但也都存在明顯的缺點.僅以概念同化模式為例，其缺點歸納起來有如下幾點：

首先，概念同化模式遵循“先行組織者→定義概念→強化概念→概念應用→形成概念域（系）”操作路線，建立在皮亞杰的認知發展理論和奧蘇貝爾的認知同化學習理論之上.皮亞杰的認知發展理論總體上屬于結構主義的，認為發展是以一種固定不變的模式進行的，對于行為的重視相對較少.而且，皮亞杰的認知發展理論強調學習者個人的作用而輕視環境的影響[5].而奧蘇貝爾的認知同化學習理論的基礎是圖式理論和有意義接受學習，沒有關注學生何時運用其知識，因而這種學習下的知識是靜態的、孤立的.認知同化學習理論早已不被認為是前沿的[6：97-124].

其次，概念同化模式重概念的邏輯結構、輕概念的內涵挖掘.數學概念具有“對象”和“過程”的雙重性，而在概念同化模式下，數學概念僅作為邏輯分析的對象存在，被剝去了其過程性存在，因而缺少了對數學概念的現實背景、數學抽象和形成過程、形式表述與符號化過程的關注，成為一個突兀的、干癟的、規定式的、被動接受的存在.

再次，單一的同化方式，不足以構建動態的心理認知結構.皮亞杰認為，人的智力的本質是一種最高形式的適應.人們在通過圖式對客體信息進行建構的過程中，需要利用同化、順應及其相互滲透和作用來構建知識，達到平衡.

此外，概念同化模式匹配于采用概念、定義+定（公）理、法則的論述方式的公理化體系下的數學教材，雖然這種模式有教學效率高、課堂容量大的優點，但是也存在一些積弊，比如：學生對于概念的理解流于表面，忽視了對學生分析和解決問題的能力的培養，忽視了學生個體學習的主動性、創造性[3-4].

2?平衡觀下問題導向的數學概念課

2.1?平衡觀

皮亞杰認為，認知發展依賴于四個因素——生物性成熟、有關物理環境的經驗、有關社會環境的經驗、平衡.前三個因素的作用效果依賴于第四個因素：平衡.平衡是指在認知結構和環境之間生成一種最佳適應狀態的生物驅力（Duncan，1995），它是認知發展中的核心因素和動機力量，它將另外三個因素的作用協調起來，使內部心理結構與外部環境現實相互一致.

平衡是一種內在的、器質性的屬性.這樣，只有存在不平衡或認知沖突時，才會出現認知發展.因此，發生一個在兒童的內在結構（圖式）上產生干擾的事件，能使兒童的觀念與他所觀察到的事實無法匹配，平衡便通過同化和順應來尋求這種沖突的解決.

同化是指對外部現實與已經存在的認知結構相適應的過程.當我們進行解釋、分析、表達時，我們對現實的特征進行改變，使之適應我們的認知結構.順應是指改變內部結構，使之與外部現實相一致的過程.當我們調整觀念來理解現實的時候，我們就在進行著順應.同化和順應是相輔相成的過程：當現實被同化時，結構得以順應.

皮亞杰認為，教師應該著力于組織環境引起認知沖突，當學生經歷認知沖突時，它們采用同化和順應的過程來建構或者改變其內部結構，學習便因此發生了，此時，信息被學生理解（同化），結構發生改變（順應）.這樣，平衡過程成功地解決了認知沖突[5：228-233].

皮亞杰主張認知發展是不能夠被教的，但它可以被加速，因此，平衡觀對教育的啟示：

1.教師的教學應該適應于班級中不同認知水平的學生.

2.教師應該通過創設豐富的環境，調動和保持學生的主動性，使之主動探索，親身經歷實際活動，主動地建構知識.

3.教師應該制造認知矛盾.當輸入的環境信息與學生的圖式不相匹配時，才有可能出現發展;當學生在解決問題中得到錯誤答案時，也能產生認知矛盾;當教師對錯誤答案反饋時，能夠促成失衡的狀態.

4.教師應該提供社會互動的機會.社會環境是認知發展的關鍵資源，教師須設計一些能提供社會互動的互動，學生在互動中學習具有不同觀點的他人能幫助他去自我中心化.

綜上，如何提供一種引起認知沖突（不平衡）的環境，讓學生在互動中尋求平衡、促進學習和發展，是促進學生主動建構的關鍵.

2.2?問題導向

馬克思指出：“主要的困難不是答案，而是問題”.于教學而言，問題應該成為課堂的核心[7].問題教學能促進學生思考、培養學生探究和創新能力、提高學生數學素養.問題導向，就是以解決問題為方向.堅持問題導向是重要的方法論.

問題導向的教學，是指在教師的備、教、輔等諸教學環節和學生的學習諸環節中，以發現問題、剖析問題、解決問題作為出發點和落腳點，以問題發展、問題探究、問題驗證（Edens，2000）為主要活動形式，所進行的基于問題的教與學.它建立在理性主義、認知心理學、建構主義、情境學習理論基礎之上，目的指向于構建寬厚而靈活的基礎知識體系、發展有效的問題解決技能、發展自主學習和終生學習的技能、成為有效的合作者、并培養學習的內部動機.其特點是認知技巧和知識并重、學習者中心、基于真實情景、以問題為核心.

問題導向教學的關鍵在于問題的確定.問題必須是結構不良的、能夠自由探索的、有價值的、能測量學生進步的、符合教學法規律的.問題的設計須遵循四個原則：

1.問題能引出與所學領域相關的概念原理.

2.問題是結構不良的、開放的、真實的.

3.問題是能激發學生的動機.

4.好的問題能隨問題的解決而自然地提供給學生反饋、評價、預測、判斷[8].

2.3?平衡觀下問題導向的數學概念課

平衡觀下問題導向的數學概念課由四個部分構成：教師帶著問題備課、學生帶著問題學習、師生以問題為中心的互動、師生對照問題的評價與反思.教師備課圍繞“哪些是需要同化的，哪些是需要順應的，如何引起認知沖突，如何促進平衡產生”進行課堂教學預設;學生在課堂學習中圍繞著教師提出的問題展開閱讀、思考、交流與討論，并在師生、生生互動中產生新的問題;師生在問題的解決過程中達成概念的學習、認知結構的重構以及情感、態度與價值認知的形成.

3?課例與評析

筆者所在學校正在進行“問題導向教學法”研究，專家指導組在平衡觀的指導下以問題導向貫穿備課、上課、反思的全過程，推出了一節示范課，授課教材選自人教版高中必修4§2.4.1“平面向量的數量積”，這是一節概念課，授課時數為1課時，授課對象是高一學生.

備課環節圍繞著問題“本節課哪些是需要同化或順應的概念？如何組織平衡過程？”展開，最后確定采用同化策略處理的對象是向量的數量積、數量積的基本性質、數量積的幾何意義、數量積的3條性質，采用順應策略處理的對象是數量積運算不滿足消去律.引發認知沖突的基本手段是提出問題，讓學生帶著問題去閱讀課本、交流討論，然后在師生的互動中尋求平衡，達成概念的精致過程，最后是正反例強化、概念應用、課堂總結深化，完成圖式的形成.整節課的教學流程為“概念引入→概念獲得→概念運用→算律探究→理解掌握→反思提高”.

3.1?功與向量的數量積的概念

“功”是向量的數量積的物理背景，因此從“功”這一學生熟悉的概念出發提煉和抽象出向量的數量積概念，有助于新概念的同化.為此，提出下面的問題：

問題1： 物理中經常需要計算力對物體所做的功.功的計算公式是怎樣的？請用圖表示出來.

問題2： 功的決定量有幾個？有人講是3個：;有人講是2個：，你認為呢？

問題3： 你能比較一下向量的數量積運算和向量的線性運算的異同嗎？

評析： “功”是力在空間上的積累.問題1引導學生考察“功”這個概念，順此可以引出定義向量的數量積的需要.要求學生畫出力對物體所做的功的示意圖，可以為“向量”的出場作出自然的鋪墊.對照著示意圖，認為功的決定量是3個的同學，自然得到向量的數量積定義的右側“”;注意到力與位移的夾角是由力與位移所決定的，所以從向量的角度出發，就會認為功的決定量是2個，這些同學會更容易理解和接受向量的數量積定義的左側“”.問題2的兩種觀點會引發認知沖突.向量的數量積跟向量的線性運算都具有明顯的物理意義和幾何意義，不同之處在于它們的運算結果，一個是數量，一個是向量.問題3能強化對于向量的數量積概念的理解.在此基礎上講解例題1，完成概念的初步建立，并及時練習鞏固.

3.2?數量積的基本性質

問題4： 如何證明“探究1”欄目的3個問題？并考察是否成立？

評析：對于問題4的回答，實質上是剖析概念的結構，揭示其內涵，辨析其外延，充分利用已有的觀念同化新概念.在此基礎上講解例題4，應用數量積的性質.

3.3?數量積的運算律

問題5： 如何證明“探究2”欄目的3個問題？

問題6： 結合向量的數量積的性質和運算律，考察是否成立？這說明了什么？

評析：向量的數量積滿足交換律、分配律、（實數）結合律，但是不滿足消去律（問題6），這就要求學生調整觀念來理解，這時順應就產生了，學生的內部認知結構得以重構.在此基礎上講解例題2、3，應用數量積的運算律.

3.4?數量積的應用

關于數量積的應用主要是通過例題1～4來實現的，已調整和分散至以上3個環節中，目的是及時鞏固和掌握相關知識.

3.5?反思與提高

問題7： 為什么學習向量的數量積概念？這一概念有什么用？研究過程是怎樣的？對今后學習有何指導意義？

評析：課堂小結是課堂教學的重要組成部分，它不僅應該服務于課堂教學目標，簡明地回顧整節課的內容，概括要點，理清思路，形成知識結構（網絡）圖，還應該服務于課堂教學整體，要升華知識與方法，發展智能[11].問題7具有啟發性，有助于培養學生的元認知能力、批判性思維能力、培養學生的思維方式[12].

4?反思

平衡觀下問題導向的數學概念課是一種為適應創新人才培養形勢、提高學生數學素養而作出的一種概念教學嘗試.實際實施過程中我們發現如下問題，需要進一步研究與思考：

1.問題導向的課堂需要教師有高超的課堂觀察、駕馭和把控能力，需要教師注重交流、互動，在動輒四、五十人的班上如何落實好這些，對教師是一個不小的挑戰. 此外，還需要深入的認知心理學知識和學科教學知識，以確定同化、順應的對象及平衡策略.這些都需要教師積極轉變觀念、提升知識素養、提高MPCK（數學學科教學知識）的應用能力.

2. 學生在這種教學模式下面臨著一連串需要他去解決的問題，這些問題常常是超出他個人能力范圍的，或者至少是需要很大努力才能解決的，因此有可能引起他的畏難情緒.而且，學生的課堂學習效果，很大程度上取決于其當時的情緒和學習動機，以及課堂參與程度.如何在有限的時間內激發學生學習動機，引導學生有效參與，如何實現師生、生生的良性互動，對于教師和學生都是不小的挑戰.

3. 教與學的方式轉變后，教師必須及時更新課堂評價方式，以更好地反饋學生的學習成果;學校需要提供立體的、多元的、主體化學習資源，以滿足學生自主學習和探索的需要.

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