建構知識體系 落實核心素養(yǎng)

劉興安

[摘? 要] 以二次函數(shù)復習教學為例，根據(jù)新課程標準的要求，大膽設計教學內(nèi)容，有效組織實施教學過程，取得了良好的教學預期，有效實現(xiàn)了學生知識體系的構建，以及核心素養(yǎng)的生成.

[關鍵詞] 二次函數(shù);復習課;核心素養(yǎng)

九年級的數(shù)學復習課，不能就是講幾道典型例題了事，而應厘清數(shù)學對象的基本思路與方法，勾起學生回憶，讓學生重構知識體系，通過一系列有序的問題提升學生的思維水平，通過典型例題的解讀提高學生分析問題、解決問題的能力;同時，在各個環(huán)節(jié)不斷滲透數(shù)學基本思想方法，全面落實核心素養(yǎng). 筆者在前不久執(zhí)教了一節(jié)數(shù)學復習課，課題為“二次函數(shù)”，根據(jù)新課程標準的要求，大膽設計教學內(nèi)容，有效組織實施教學過程，贏得了一致好評. 現(xiàn)將本節(jié)課作一呈現(xiàn)，以供點評.

學情分析

本節(jié)課所授班級的學生數(shù)學基礎知識扎實，知識接受能力強，普遍成績比較好.二次函數(shù)的相關知識學生在新知學習時已經(jīng)掌握，能夠用二次函數(shù)的模型解決具體的實際問題，對于函數(shù)的學習積累了一些基本方法與經(jīng)驗，學生有一定的觀察能力、總結(jié)概括能力，知道數(shù)形結(jié)合、分類討論、特殊與一般等數(shù)學思想.但學生的思維還是以形象思維為主，處于由形象思維向抽象思維過渡的階段.

復習目標

（1）掌握二次函數(shù)：形式、圖像與性質(zhì)，學會運用不同的方法確定二次函數(shù)解析式;理解二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式三者的相互聯(lián)系.

（2）親歷二次函數(shù)相關知識的梳理過程，進一步熟悉研究函數(shù)的基本思路與方法，提升觀察圖形、分析圖形的能力，體會數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想.

（3）體驗數(shù)學知識之間的相互聯(lián)系，學會從生活化問題中抽象函數(shù)模型，并應用其解決生活問題，使數(shù)學抽象與數(shù)學建模的核心素養(yǎng)落地生根.

教學呈現(xiàn)

1. 溫故知新，知識再構

師：二次函數(shù)是我們九年級學習的一類函數(shù)，關于二次函數(shù)我們學習了哪些內(nèi)容？這些內(nèi)容又是如何學習得到的？

生：二次函數(shù)我們學習了它的概念、圖像與性質(zhì);二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式的相互關系;二次函數(shù)在實際生活中的應用;二次函數(shù)圖像與幾何圖形的綜合;等等.

生：二次函數(shù)的研究是這樣的：由實際生活的事例，提取二次函數(shù)模型;由二次函數(shù)的表達式用描點法畫出二次函數(shù)的圖像;由二次函數(shù)的圖像來研究二次函數(shù)的性質(zhì)，在研究二次函數(shù)的性質(zhì)時，按從特殊到一般的規(guī)律進行研究;然后探究二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式之間的聯(lián)系，最后應用二次函數(shù)的性質(zhì)解決實際問題.

師：在學習二次函數(shù)的過程中，我們學習了哪些數(shù)學思想與方法？

生：待定系數(shù)法、配方法、數(shù)形結(jié)合思想、從特殊到一般的思想、方程思想、函數(shù)思想.

師：請同學們用自己的方式表示二次函數(shù)所有知識點之間的縱橫關系.

經(jīng)過15分鐘的討論、爭論，師生共同總結(jié)的內(nèi)容如圖1.

設計意圖? 在復習前，在學生頭腦中二次函數(shù)的知識是孤立的、分散的，所以，復習中，教師應引導學生再建知識結(jié)構圖，理清二次函數(shù)相關知識的發(fā)生、發(fā)展脈絡，掌握二次函數(shù)的核心知識與研究函數(shù)的一般方法，不僅要通過文字語言表述二次函數(shù)的相關內(nèi)容，而且要與圖形語言、符合語言相互配合與轉(zhuǎn)化，加深學生對數(shù)學語言的理解與掌握，從而提高學生對二次函數(shù)性質(zhì)、相關思想方法的理解與認識.

2. 數(shù)形聯(lián)手，構建聯(lián)系

師：畫二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像的一般步驟是什么？

生：畫二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像的一般步驟是：（1）先將二次函數(shù)的表達式配方成y=a（x-h）2+k（a≠0）的形式，找出拋物線的開口方向、對稱軸及頂點坐標;（2）以對稱軸為中心列表;（3）描點，連線.

師：如果二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像如圖2所示，觀察函數(shù)圖像，你能從中得到什么信息呢？

生：拋物線的對稱軸為直線x=1，與y軸的交點坐標為（0，-2），根據(jù)拋物線的對稱性，得到拋物線與x軸的兩個交點的坐標為（-1，0），（3，0）.

生：當x<-1或x>3時，y>0;當x=-1或3時，y=0;當-1

生：根據(jù)拋物線與坐標軸的三個交點坐標，可求得拋物線的解析式為y=■x2-■x-2，頂點坐標為1，-■.

生：一元二次方程■x2-■x-2=0有兩個不相等的實數(shù)根，一元二次方程■x2-■x-2=-■有兩個相等的實數(shù)根.

師：如圖3，如果增加直線y=-■x，觀察圖像，你又能得到什么樣的結(jié)論？

生：聯(lián)立得方程組y=■x2-■x-2，y=-■x，解得x■=-2，y■=■;x■=■，y■=-■.說明直線與拋物線的交點坐標為-2，■，■，-■.

師：根據(jù)圖像信息，可以求出函數(shù)解析式、方程的解或方程組的解，可以得到不等式的解集，那么同學們能從中得到不等式組的解集嗎？

生：不等式組■x2-■x-2>0，-■x>0 的解集是x<-1;不等式組■x2-■x-2>0，-■x<0 的解集是x>3.

設計意圖? 函數(shù)解析式反映了函數(shù)中兩個變量之間的數(shù)量關系，而函數(shù)圖像則是用圖形反映了兩個變量之間的變化趨勢，函數(shù)解析式精確不直觀，函數(shù)圖像直觀不精確，當兩者結(jié)合時，就能發(fā)揮兩者的優(yōu)勢，通過觀察函數(shù)圖像，利用函數(shù)圖像與坐標軸的交點坐標，兩個函數(shù)圖像的交點坐標等特殊點的坐標，學生發(fā)現(xiàn)了諸多有用的結(jié)論，從而將二次函數(shù)、二次方程、二次不等式三個二次有機結(jié)合在一起，加強了三者之間的溝通與比較.

3. 應用模型，回歸生活

數(shù)學知識抽象于生活，同時又服務于生活，通過數(shù)學模型建構解決生活中的實際問題，是落實核心素養(yǎng)的有效舉措，對促進學生的核心素養(yǎng)生成具有重要作用.

例如，大華超市在銷售一種商品時發(fā)現(xiàn)，商品每月賣出的數(shù)量是銷售單價的一次函數(shù)，其中某種商品的銷售單價與月銷售量之間有如下的對應關系. 注：月銷售利潤=月銷售量×（售價-進價）.

（1）①求y關于x的函數(shù)表達式;

②當該商品的售價是多少元時，月銷售利潤最大？并求出最大利潤.

（2）為控制銷量，大華超市提高了銷售單價，在原來的基礎上增加了m元，但是超市又不想讓單價超過40元，超市要想得到2600元的利潤，應該增加多少元？

設計意圖? 二次函數(shù)的實際應用體現(xiàn)了二次函數(shù)模型的應用價值. 學生根據(jù)實際問題抽象出二次函數(shù)的模型，然后應用二次函數(shù)最值的性質(zhì)確定獲得最大利潤時的單價，使數(shù)學抽象與數(shù)學建模的核心素養(yǎng)落地生根，在應用的過程中，提高了學生分析問題解決問題的能力.

教學感悟

梳理舊知時，要注重知識與方法并重，不僅要讓學生回憶學過的知識與方法，再建知識結(jié)構，而且將知識的發(fā)生與發(fā)展的歷程也作為梳理的重點. 本節(jié)課就重新梳理了一下研究函數(shù)的一般套路與程序，學生可以使用這種方法研究其他的函數(shù)，為進一步學習做好鋪墊;重視數(shù)學思想方法的滲透，數(shù)學思想方法是數(shù)學知識的提煉與升華，它對數(shù)學知識的生成、研究方法的使用、解答試題的策略都有很強的指導意義，如本節(jié)復習課就向?qū)W生滲透了數(shù)形結(jié)合、分類討論、從特殊到一般、方程思想、函數(shù)思想等;重視模型的回歸應用，落實核心素養(yǎng)，本節(jié)課要求學生根據(jù)實際問題抽象出二次函數(shù)的模型，然后應用二次函數(shù)最值的性質(zhì)確定獲得最大利潤時的單價，使數(shù)學抽象與數(shù)學建模的核心素養(yǎng)落地生根，在應用的過程中，提高了學生處理關鍵問題的能力.