高中數學中的立體幾何解題技巧分析

李易民

【摘 要】 立體幾何是高中數學學習的重要組成部分，對學生的空間想象力具有較高要求，為了幫助學生快速突破這部分數學問題的求解難關，有必要傳授給他們解題技巧。本文基于高中數學教學現狀，以立體幾何題目為例，提出了一些切實可行的解題技巧。

【關鍵詞】 高中數學;立體幾何;解題技巧

立體幾何是高考數學的必考內容，常常作為壓軸題出現，對學生的空間思維能力和問題求解能力具有較高要求，使得學生在面對綜合性立體幾何問題的時候常出現不知如何下手的問題，影響了解題的準確性。為了幫助高中生順利地突破這部分數學知識的學習難關，有必要傳授給他們解題的技巧與方法。

一、巧用構造方法，有效解決立體幾何問題

構造方法是求解立體幾何問題中比較常用的一種教學手段，具體就是結合立體幾何題目的具體情況，通過靈活添加輔助線的方式來構造圖形，力求可以更好地觀察圖形，幫助學生快速明確立體幾何問題求解的突破口。但是在立體幾何問題中應用構造方法期間，需要注意立足于問題的簡化處理視角，確保輔助線添加的科學性和合理性，避免因為錯誤添加輔助線而影響立體幾何問題的求解效率。

例1：如圖1，平面α上有A、B兩點，C、D兩點位于直線l上，其中點A、B、C、D共同圍成了一個矩形。在平面β上存在一個P點，CP和AB的中點分別為N點和M點，且已知AD=AP，AP⊥平面α，求證：MN為AB和PC的公垂線。

解析：針對該道立體幾何問題的求解，由于題干的信息比較抽象，增加了學生的求解難度，所以為了幫助他們快速求解問題，要注意對這道立體幾何問題進行簡化。結合相關問題的題干特征和求解經驗，可知在題目中給定某一個中點的時候，可以利用構造方法，再找到另一個中點構成中位線，這時候可以有效地調用相似三角形、平行定理等方面的常用定理來快速求解。

通過靈活應用構造方法，科學添加輔助線，可以將這道立體幾何問題進行簡化，從而有利于學生快速找到求解問題的關鍵。此外，構造方法的一種變量應用方式是構建位置關系，這也有利于對相應的問題進行簡化。

二、巧用建模方法，有效解決立體幾何問題

建模方法具體是指將數學問題歸納為某個直觀性更強的數學模型，之后采取恰當的數學知識進行求解。在高中立體幾何教學中，向量是比較重要的學習內容，如果可以在求解立體幾何問題的時候靈活地應用向量知識，那么可以降低學生求解立體幾何問題的難度，同時也有利于促進高中生思維能力的發展，尤其是可以利用空間向量坐標實現計算立體幾何問題的目標，這樣就可以將立體幾何問題的求解相應地轉變成代數問題進行求解。

例2：現有一個正四面體ABCD，其中線段AB和CD上分別存在E點和F點，且AE=AB，CF=CD，試求直線DE和BF夾角的余弦值。

解析：針對該道立體幾何問題的求解，如果直接采取繪制直觀圖的方式，學生計算難度比較大。而如果可以利用建模方法，構建向量模型，那么可以幫助學生簡化問題求解過程。

解：假定線段AB、AC和AD為基向量，三者分別為a，b，c，且三者之間的夾角均為60°，并且正四面體的棱長是4，那么可知AE=CF=1，且AB與AC、AD以及AD和AC之間的夾角均為60°。結合余弦定理可知：BF=DE=?！?（a-c）（b+c-a）=-4。接著可以指導高中生繼續結合異面直線成角的基本定義，快速判斷直線DE和BF夾角的余弦值為。

在上述這一立體幾何問題求解過程中，靈活地運用建模方法，借助基底坐標法可以對相應立體幾何問題中涉及的空間問題進行有效解決，尤其是有利于消除其中涉及的垂直關系，最終可以將這一空間幾何問題轉化成以向量知識為主的代數問題求解，只需要調用向量坐標即可求解問題。

總之，立體幾何問題的求解思路和方法眾多，本文結合例題，對構造方法（構造輔助線、構造未知關系等）和建模方法的具體應用情況進行了重點探討，明確了求解方法應用的重點與注意事項。幫助高中生掌握這些解題方法，可以有效提升他們求解立體幾何問題的能力。