數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯誤的教育意蘊及其分類應(yīng)對（下）

張良朋

（接2019年第11期第7頁）

（二）認(rèn)知性錯誤及其教學(xué)應(yīng)對

認(rèn)知性錯誤屬于學(xué)習(xí)探究性錯誤，主要是指學(xué)生在學(xué)習(xí)探究階段因不當(dāng)?shù)乃伎挤椒ê蛯W(xué)習(xí)策略而引發(fā)的錯誤，從形態(tài)上分析屬于過程性錯誤。

學(xué)生完成學(xué)習(xí)任務(wù)的過程其實是一個自主進行問題解決的過程。這個過程的關(guān)鍵步驟有兩個：一是對題目提供的信息進行合適的知識表征，二是運用認(rèn)知遷移規(guī)律實施有效的問題解決。在知識表征階段，主要決定學(xué)生能否以合適的信息結(jié)構(gòu)重組已有信息，進而給第二階段的認(rèn)知遷移提供合適的解題原型進行知識匹配，這是能否高效解決問題的前提條件。在認(rèn)知遷移階段，主要決定學(xué)生運用的解決問題的每個策略是否合理可靠并能彼此間構(gòu)成指向最終目標(biāo)的解題鏈，這是能否順利實施解決問題方案的保障條件。

數(shù)學(xué)史上，“哥尼斯堡七橋問題”曾經(jīng)難倒過很多人，后來被大數(shù)學(xué)家歐拉輕松解決。顯然，在“哥尼斯堡七橋問題”的解決過程中最具突破意義的一步是歐拉把它表征為與之等價的“一筆畫”問題，使原來毫無頭緒的問題變得清晰明朗。而“一筆畫”問題解決起來并不太困難，“哥尼斯堡七橋問題”遂得以順利解決。這充分表明問題表征對順利解決問題的重要性。

有一個小學(xué)數(shù)學(xué)的例子也充分表明了知識表征對有效解決問題的重要性。

題目：有水果糖4千克，每千克3.2元;奶糖5千克，每千克4.8元;芝麻糖11千克，每千克6.4元。將這些糖混合成什錦糖，這種什錦糖平均每千克多少元？

在交流解題方法時，有個學(xué)生提出算式可以這樣列（方法①）：（3.2+4.8+6.4）÷3=4.8（元）。

令人意外的是，這種解法得到了大多數(shù)學(xué)生的認(rèn)可，說這樣做簡潔明了。此時，教師要求學(xué)生按照一般方法進行計算。經(jīng)過計算（方法②），學(xué)生發(fā)現(xiàn)結(jié)果不一樣。

（3.2×4+4.8×5+6.4×11）÷（4+5+11）

=（12.8+24+70.4）÷20

=5.36（元）

問題出在哪里了呢？在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生通過改變各種糖的數(shù)量再次計算，發(fā)現(xiàn)用方法①解答的結(jié)果始終是不變的，方法②解答的結(jié)果是隨著每種糖數(shù)量的變化而變化的。可見方法①是錯誤的。此時，好多學(xué)生仍不理解第一種方法為什么是錯的，變得十分困惑。教師引導(dǎo)學(xué)生對兩種解法進行比較，經(jīng)過反復(fù)辨析，學(xué)生終于明白這種“加權(quán)平均數(shù)問題”與以前學(xué)的算術(shù)平均數(shù)問題類型不同，生搬硬套是不可行的。表面上看是因?qū)W生審題不仔細(xì)、思維不靈活導(dǎo)致錯誤，其實從一開始學(xué)生的題目表征就出錯了，所以緊接著的解題活動都變成了白費工夫。

基于上述分析，學(xué)生的認(rèn)知性錯誤主要分為兩類：一類是題目表征性錯誤，一類是認(rèn)知遷移性錯誤。

1.題目表征性錯誤的應(yīng)對策略

題目表征性錯誤的主要癥狀有：

（1）根據(jù)“關(guān)鍵詞”進行無意義的題目表征

如在解答應(yīng)用題時，抓關(guān)鍵字詞對分析、解答應(yīng)用題有一定的幫助，但過度使用會導(dǎo)致學(xué)生思維僵化，產(chǎn)生錯誤的題目表征導(dǎo)致解法出錯。比如：有的學(xué)生認(rèn)為題目中問“一共”表示用加法來做，問“還剩”表示用減法來做。有的教師總結(jié)了分?jǐn)?shù)乘除法應(yīng)用題的解題技巧。第一步，先看關(guān)鍵詞“占” “比” “是”，關(guān)鍵詞后為“單位1”。第二步，對照“單位1”，再去定分率，比“單位1”多，用1加分率;比“單位1”少，用1減分率。第三步，已知“單位1”，就用乘法做;若求“單位1”，除法來解決。運用這樣的解題技巧，其實不是在引領(lǐng)學(xué)生進行真正的數(shù)學(xué)思維活動，它舍棄了對問題情境中隱含的抽象數(shù)量關(guān)系的分析，把運算背后的數(shù)學(xué)意義置于可有可無的境地，解題被簡化成了一個“簡單對應(yīng)，機械套用”的活動。

例1? 一桶水，用去它的3/4，用去了15千克。這桶水重多少千克？

例2? 飼養(yǎng)場養(yǎng)了30只黑兔，白兔只數(shù)的5/6是黑兔，白兔有多少只？

這兩道例題能套用上述解題“技巧”求解嗎？例1中沒有“是、占、比”這些字詞，學(xué)生怎樣找到單位“1”呢？例2中“是”字后是黑兔，難道黑兔是題目中的單位“1”嗎？顯然，如果用所謂的解題“技巧”來解答例1、例2，學(xué)生會因不會找或找錯單位“1”而出現(xiàn)不會做或做錯的現(xiàn)象。學(xué)生解題頻出錯，硬套“技巧”惹的禍！

（2）根據(jù)“標(biāo)準(zhǔn)式”進行單一化的題目表征

例如：張明家距學(xué)校500米，李剛家距學(xué)校800米，張明和李剛兩家相距多少米？這是一道開放題，張明和李剛家的具體位置根據(jù)題意不能完全確定，也就是說他們兩家的位置關(guān)系不是唯一確定的。很多學(xué)生在對此題進行表征的時候，都想當(dāng)然地把張明家、學(xué)校、李剛家定位在同一條直線上，學(xué)校居中、張明家和李剛家分居學(xué)校兩側(cè)。結(jié)果他們的解答算式都是清一色的500+800=1300（米）。這顯然是受過去“標(biāo)準(zhǔn)式”題型的影響，這種先前經(jīng)驗的多次出現(xiàn)，使學(xué)生不由自主地簡化了思維過程，縮減甚至省略了題目信息收集、分析、判斷、推理、確認(rèn)的完整解題過程，以致產(chǎn)生了表征定式，無法做到具體問題具體分析。

（3）根據(jù)“常規(guī)做法”進行無變通的題目表征

例如，學(xué)習(xí)三角形面積計算問題，學(xué)生往往會先找出三角形的一條底和這條底上的高，再利用面積公式計算出面積，這種思維定式在學(xué)生大腦中早已根深蒂固。這種定式，對于解決已知底和高，再求三角形面積的問題，學(xué)生可以不假思索地給出正確的解題方案，但對于解決下面的變式問題，學(xué)生可能會束手無策了。請看曹培英老師的具體分析。

試根據(jù)下列條件，求下圖梯形中陰影部分（三角形）的面積。

（1）已知梯形上底4厘米，下底8厘米，空白部分（三角形）面積為20平方厘米;

（2）已知梯形下底是上底的2倍，空白部分（三角形）的面積為24平方厘米。

解決問題（1），學(xué)生大多“舍近求遠(yuǎn)”，通過梯形上底和空白三角形的面積，求出兩個三角形共同的高，再求陰影部分的面積，卻沒有想到，既然高相等，那么其中一個三角形的底是另一個的2倍，由此它們的面積關(guān)系當(dāng)然也是2倍。

解決問題（2），多數(shù)學(xué)生一拿到題目，就陷入了尋找底和高來解決問題的思維套路之中，自然是做不出來的。也有個別學(xué)生見此法不通，想到先假設(shè)出上底的具體數(shù)據(jù)，再利用上底與下底的關(guān)系求出下底，再求出兩個三角形共同的高，最后算出陰影部分的面積。這種煩瑣的解法實際上還是“底高定式”的產(chǎn)物。

正是因為找不到合適的題目表征方式，才造成了學(xué)生解題無解、錯解或只能獲得效率不高的解。

克服題目表征性錯誤的策略主要有兩個：

（1）有意識地發(fā)展符合“通性通法”的題目表征

數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)之一就是使學(xué)生掌握體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科特色思維，符合數(shù)學(xué)“通性通法”要求的思維能力。這種思維能力是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的核心標(biāo)志。正如章建躍老師指出的，在“通性通法”中，“通性”就是概念所反映的數(shù)學(xué)基本性質(zhì)，“通法”就是概念所蘊含的思想方法。解題教學(xué)中，注重基礎(chǔ)知識及其蘊含的數(shù)學(xué)思想方法，才是追求數(shù)學(xué)教學(xué)的“長期利益”。如果教師過分強調(diào)某種特定的技巧、某些特殊的標(biāo)志（其實都是人為的、非本質(zhì)的規(guī)定），就會把學(xué)生的思維越教越死，使學(xué)生越學(xué)越笨，最終貽誤了學(xué)生的長遠(yuǎn)發(fā)展。

例如，學(xué)習(xí)“歸一問題”，學(xué)生容易將其解法與特定的情節(jié)內(nèi)容、特定的敘述（如“照這樣計算”）建立起聯(lián)系。在初學(xué)階段還能順利過關(guān)，但由此形成的定式會阻礙歸一算法應(yīng)用范圍的拓寬，進而影響學(xué)生的思維深度和思維靈活性。因而，需要教師適時變換問題情境，幫助學(xué)生實現(xiàn)解題方法的遷移。就解決問題的教學(xué)而言，淡化問題類型特征，強化數(shù)量關(guān)系分析，養(yǎng)成具體問題具體分析的學(xué)習(xí)觀念，無疑是一種良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)素養(yǎng)，具有廣泛的正遷移價值。

（2）提防過度“類型化”，要經(jīng)常不斷地回歸到知識意義的源頭

隨著學(xué)習(xí)時間的延長，學(xué)生學(xué)習(xí)的經(jīng)驗愈加豐富，頭腦中儲存的“類型化”信息越來越多。這些“類型化”信息有力提升了學(xué)生對題目表征的速度，但同時也會限制學(xué)生靈活表征意識和水平的發(fā)展。在日常教學(xué)中，教師不能一味督促學(xué)生提高解題的速度、滿足于解法的正確，要經(jīng)常性地追問這樣做的根據(jù)和意義。要讓學(xué)生真正能思考起來，而不是一味地套用、練熟。特別是在剛開始學(xué)習(xí)一種新類型題目時，教師一定不能因貪圖省時省事而放棄讓學(xué)生經(jīng)歷多元表征的環(huán)節(jié)，過早地強加給學(xué)生一個所謂的成熟“范式”。

2.認(rèn)知遷移性錯誤的應(yīng)對策略

遷移是指已經(jīng)獲得的知識、技能和學(xué)習(xí)方法對學(xué)習(xí)新知識和新技能的影響。人們常說的舉一反三、觸類旁通就是一種遷移促進問題解決的實例。遷移有正負(fù)之分。一種知識技能的掌握，促進了另一種知識技能的有效掌握是正遷移。反之，產(chǎn)生干擾作用的就是負(fù)遷移。因此，遷移對解決問題有積極與消極的雙重影響。

認(rèn)知遷移性錯誤的主要癥狀有：

（1）不當(dāng)擴大類推

把以前獲得的某種解決問題的方法，類推到了一個新的領(lǐng)域中使用，卻沒有考慮到原題中的條件限制或只注意了形式上的相似性。類比思維是通過知識間的相似性，以及這種相似性間存在的可比較性得到啟發(fā)的，是解決問題的重要思維方法。但類比思維根據(jù)并不充分，推理的過程跳躍性強，無法保證所推出的新結(jié)論是必然的。

比如：學(xué)生在學(xué)習(xí)乘除法以后，從乘法分配律（a+b）×c=a×c+b×c成功類推出（a+b）÷c=a÷c+b÷c，又想當(dāng)然地從a×（b+c）=a×b+a×c中錯誤類推出a÷（b+c）=a÷b+a÷c，從而使計算產(chǎn)生了錯誤，如48÷（1/2+49/48）=48÷1/2+48÷48/49=48×2+48×49/48=145。

（2）拘泥已有成見

研究表明，在解決問題時，學(xué)生大多傾向于通過“模仿”已做過題型的解題方法去解決類似的新題目，即使是碰到不同類型的，僅說法或形式上存在相似性的題目，也會不假思索地套用原有的解法進行解答，從而產(chǎn)生錯誤。

比如，有這樣一道題：右圖是人民醫(yī)院包扎用的三角巾。現(xiàn)在有一塊長18米，寬0.9米的白布，可以做多少塊三角巾？學(xué)生讀題、分析、學(xué)習(xí)求解得：

①長方形面積：18×0.9=16.2（平方米）;

②三角形面積：0.9×0.9÷2=0.405（平方米）;

③三角巾塊數(shù)：16.2÷0.405=40（塊）。

接著教師引導(dǎo)學(xué)生列綜合算式：

（18×0.9）÷（0.9×0.9÷2）=40（塊）。

最后教師小結(jié)：像這樣，求一個平面圖形包含有幾個另一個平面圖形的問題，只要用“大平面圖形的面積除以小平面圖形的面積”就行了。倘若把原題中的長是“18 米”改為“8. 1 米”，寬是“0. 9 米”改為“2 米”，其余條件不變。那么，這塊白布能做多少塊三角巾呢？ 如按這位教師總結(jié)的規(guī)律去做，此題三角巾塊數(shù)是：（8.1×2） ÷（0.9 ×0.9÷2） = 40 （塊） 。但在實際裁剪中，只能做36 塊三角巾（碎布拼湊的三角巾不在此列）。教師總結(jié)的這種解題方法，其實是一種狹隘的思維“成見”，沒有考慮到題目中的數(shù)據(jù)特征、實際裁剪的方式方法及原材料能否被全部利用都會直接影響問題解決的方式及最終結(jié)果。當(dāng)學(xué)生自認(rèn)為手握解題利器無往不勝時，迎接他的卻注定是一個錯誤的結(jié)局。

（3）習(xí)慣就事論事

在解決問題時，學(xué)生往往不能超越已有經(jīng)驗的狹隘性（知識的概括水平不高），把曾經(jīng)用過的方法按照情境條件的相似性進行選取，不能真正從問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)出發(fā)選擇方法。

例如，這樣一道應(yīng)用題：“甲、乙兩地相距50千米，一輛汽車從甲地開往乙地，已經(jīng)行了全程的2/5，這時這輛汽車離甲地有多遠(yuǎn)？”學(xué)生在解答的時候往往會這樣列式：50×（1-2/5）。這是因為學(xué)生以前做過與此情節(jié)類似的題目，求解“汽車離乙地還有多遠(yuǎn)？”這種先前經(jīng)驗的多次出現(xiàn)，使學(xué)生不由自主地沿用了過往的思維路徑，導(dǎo)致解題錯誤一而再再而三地發(fā)生。

（2）理解錯誤

有一個十分精辟的觀點：錯誤只有被理解、被認(rèn)識后才能體現(xiàn)它的價值，也只有這時“失敗才會是成功之母”。錯誤中潛藏的教育價值只有在理解的空間中才能釋放出來。不明白學(xué)生為什么出錯，不了解錯誤表現(xiàn)背后的積極因素，看不到錯誤中隱含的教育資源，只會出現(xiàn)誤解和誤用。理解了錯誤，學(xué)生才能逐步學(xué)會怎樣對待錯誤，學(xué)會如何汲取錯誤中積極有益的東西而摒除消極有害的東西。如下引導(dǎo)語可供教師參考：（1）這個錯得有價值（這真是個高明的錯誤）！你這一錯，全班同學(xué)都會引起注意了。謝謝你！（2）你的結(jié)果錯了，但解決問題的方法沒有全錯。再檢查一下，是哪個環(huán)節(jié)出了問題呢？（3）為什么會出現(xiàn)這樣的錯誤呢？我們大家一起來幫這位同學(xué)找一找原因。

（3）利用錯誤

貝恩布里奇曾說過：“錯誤人皆有之，作為教師不利用是不可原諒的。”錯誤是學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的相伴產(chǎn)物，是一種具有特殊教育作用的學(xué)習(xí)資源，是一種寶貴的教學(xué)資源。華應(yīng)龍老師告訴我們：“在這樣一種融錯教育中，積淀下來的就是學(xué)生創(chuàng)新的人格，在學(xué)習(xí)的過程，他不但掌握了知識，而且還養(yǎng)成了敢于嘗試的良好習(xí)慣，錯了、失敗了，他會去分析，然后再不斷地探索。這種教育能幫助學(xué)生磨煉出百折不撓的意志品質(zhì)。”教師在教學(xué)中，應(yīng)充分發(fā)掘錯誤中的積極教育因子，讓“差錯”顯露出它的價值，將其轉(zhuǎn)化為有利于達(dá)成教學(xué)任務(wù)、促進學(xué)生發(fā)展的教學(xué)資源。當(dāng)學(xué)生認(rèn)識到學(xué)習(xí)錯誤的可貴之處，并能有意識地利用學(xué)習(xí)錯誤這塊墊腳石時，標(biāo)志著他們的情意水平已然躍升到了新的境界。

第一，從錯教起，把錯誤作為教學(xué)素材。

學(xué)生出錯了，勢必會在學(xué)生原本平和的心理上激蕩起比較強烈的認(rèn)知和情緒體驗。如果以學(xué)生的錯誤“作品”作為素材對之進行教學(xué)法上的加工，就能夠產(chǎn)生“以子之矛，攻子之盾”的教學(xué)效應(yīng)，有力地促進學(xué)生認(rèn)知的完善和思維的發(fā)展，增強學(xué)生對錯誤潛在價值的識別和利用能力。

第二，教師出錯，培養(yǎng)學(xué)生的自查習(xí)慣。

課堂是允許學(xué)生出錯的地方，這已逐漸成為廣大教師的共識。如果教師出錯了呢？顯然，其觸發(fā)的心理效應(yīng)一定會更加熱烈、持久和廣泛。作為教師，如果能夠利用學(xué)生的這種特殊心理效應(yīng)故意犯點錯，肯定能引發(fā)學(xué)生對錯誤的特別關(guān)注，有效提升他們自我檢查、自我改錯的意識和質(zhì)量，進而培養(yǎng)起自覺自查、自糾自改的習(xí)慣。

第三，交流錯誤，引導(dǎo)全班共同發(fā)展。

通過交流錯誤，錯誤就會由“個別”學(xué)生的專有資源轉(zhuǎn)化成“集體”所有的共享資源，能促使各個層次的學(xué)生投入辨識錯誤、剖析錯誤、修正錯誤、反思錯誤的學(xué)習(xí)活動中。錯誤不再被犯錯者遮遮掩掩，而是成為大家愿意公開談?wù)摰脑掝}和借以繼續(xù)攀升的學(xué)習(xí)階梯，在良性互動中，學(xué)生得以相互激發(fā)、彼此激勵、交互提醒、互相滋養(yǎng)、協(xié)同發(fā)展。

第四，制造錯誤，推動學(xué)生的深度發(fā)展。

英國學(xué)者愛德華·德波諾認(rèn)為：從A處到B處，駕車者常常因為車速過快而忽視了路旁還有一個C點（盡管C點有一條更好的路通向B），從A到B的路越順暢，C點被忽略的可能性就越大，這就是注意的滑過現(xiàn)象。這就是說，如果學(xué)生的學(xué)習(xí)過程太過順暢，反而不利于學(xué)生的充分發(fā)展。因此，教師在課堂上有意制造錯誤，使“錯誤”與“正確”發(fā)生激烈的正面交鋒，有助于觸及和消解學(xué)生真實的思維矛盾，促使其充分內(nèi)化知識本質(zhì)，從多個角度切實提升素養(yǎng)發(fā)展層次。

第五，反思錯誤，提升學(xué)生的自我教育水平。

情意性錯誤，很大程度上是因為學(xué)生注意力難以集中、粗心大意造成的，同學(xué)習(xí)個體不良的學(xué)習(xí)習(xí)慣密切相關(guān)。克服這種錯誤，必須從培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣著手，這是一個長期且艱巨的過程。靠教師不斷地說教，“做作業(yè)要認(rèn)真細(xì)致，不能粗心大意”“下次不能再錯了，再錯必定重罰”，往往收效甚微。化解問題的關(guān)鍵還是要發(fā)揮學(xué)生的主體作用，讓他們學(xué)會自己發(fā)現(xiàn)錯誤，反思出錯的原因，找尋改錯的路徑，發(fā)揮錯誤的價值。經(jīng)常讓學(xué)生反思、改正自己的錯誤，讓他們自己教育自己，就能逐步達(dá)到促其養(yǎng)成正確的錯誤觀和高超的析錯、改錯、用錯能力的育人目標(biāo)。

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