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從圖形直觀到算式抽象

2020-08-27 12:57:34李小強
江西教育B 2020年8期
關鍵詞:解決問題學生

李小強

作為《義務教育數(shù)學課程標準(2011年版)》十大核心概念之一,幾何直觀是幫助學生描述和分析問題的重要工具。在幾何直觀中,圖形直觀又是一個重要分支,在教學中有著廣泛的應用,其中,線段圖就是最抽象的圖形直觀,也是最簡潔的圖形直觀。對于三年級學生來講,他們已經具備了讀懂數(shù)線圖(再抽象一下就是線段圖了)的基本經驗,能夠通過數(shù)線圖列出算式。然而,在解決實際問題時,學生卻很難將畫圖的方式用于分析問題的過程中,筆者曾對某班三年級學生進行了畫圖分析問題的調查,有84.3%的學生不明白怎樣畫圖,或不明白如何在圖中標注信息。徐斌老師的“畫線段圖解決問題”更加側重圖形直觀到算式抽象之間的過渡與銜接,從“線段圖怎么來的”和“怎么畫出線段圖”兩個角度幫助學生更深入地認識和理解線段圖,讓學生知其然更知其所以然。

【片段一】三問“變與不變”,抽象得到線段圖

師:徐老師要考驗大家的眼力。如圖1,你能發(fā)現(xiàn)數(shù)學信息嗎?

生:有2朵藍花(圖中用白色表示,下同)。

師:如圖2,現(xiàn)在誰能用數(shù)學語言描述一下?

生:紅花(圖中用黑色表示,下同)是藍花的4倍。

師:對,紅花的數(shù)量是藍花的4倍。如圖3,繼續(xù)觀察,現(xiàn)在什么變了,什么沒有變?

生:圖形變了,但數(shù)量沒有變,顏色也沒有變。

師:那這個時候紅色正方形的數(shù)量是藍色正方形的幾倍?

生(齊):4倍。

師:如圖4,現(xiàn)在呢?什么變了,什么沒有變?

生:現(xiàn)在有4個紅色長方形,有1個藍色長方形,紅色長方形的數(shù)量是藍色長方形的4倍。

師:你說得真完整。

師:如圖5,這樣呢?紅帶子的長是藍帶子的幾倍?

生(齊):4倍。

師:認真觀察圖6,什么變了,什么又沒有變?

生:除了帶子寬度變了,其他都沒有變。

師:也就是說,原來很寬的帶子,現(xiàn)在只是變窄了,長度和顏色都沒有發(fā)生變化。這個時候,紅帶子的長是藍帶子的幾倍呢?

生(齊):4倍。

師:仔細看圖7,它變得更細了。你見過這樣的圖形嗎?它叫什么呀?

生(齊):線段圖。

師:現(xiàn)在,你知道線段圖是怎么來的了吧?其實,我們平時生活當中的一些現(xiàn)象或圖形,最后都可以變成像這樣的線段。今天,我們就來學習畫線段圖來解決問題。

【賞析】在以往的數(shù)學教學過程中,我們往往只重視線段圖的工具性,用它分析和解決問題,卻極少去思考線段圖是怎么來的。所以,學生對于線段圖的認識是片面的。本節(jié)課,徐老師通過3次圖形的變化,讓學生對線段圖有了更深刻的認識和理解。其中,第一次變化是基本的數(shù)學抽象過程,從具體實物(花朵)到數(shù)學圖形(正方形),即從生活到數(shù)學的過程,讓學生明白線段圖可以解決生活中的問題,而且解決的是一類問題,而不是一個簡單的“紅花的數(shù)量是藍花的4倍”的問題。第二、三次圖形變化分別是從獨立的多個正方形拼接成完整的一條帶子,再從寬寬的帶子壓縮為細細的線段圖,讓學生在“變與不變”之中深刻理解數(shù)量關系,抓住數(shù)學本質,同時又體會到畫圖的簡潔。

【片段二】三改“問號位置”,深刻理解線段圖

師:在生活當中遇到的實際問題,有的沒有告訴我們要求什么,有的還需要我們去尋找已知信息。你們能夠自己發(fā)現(xiàn)問題和提出問題嗎?來看這樣一個情境(情境圖略,圖中的數(shù)學信息:褲子48元,上衣的價錢是褲子的3倍),你能發(fā)現(xiàn)哪些已知的數(shù)學信息?

生:褲子的價錢是48元。

生:上衣的價錢是褲子的3倍。

師:這些都是題目告訴我們的,叫作已知條件。根據(jù)這兩個條件,誰能提出一個數(shù)學問題來?

生:上衣要多少元?

師:一件上衣多少元?(記作1號問題)誰能提出不一樣的問題?

生:一件上衣和一條褲子一共多少元?

師:一件上衣和一條褲子就可以簡稱一套,那就是一套衣服多少元?(記作2號問題)誰還能提出一個不一樣的問題?

生:一件上衣比一條褲子貴多少元?(記作3號問題)

師:根據(jù)條件,我們提出了3個問題,接下來就要解決問題了。這3個問題都很好,不過難易程度不一樣,你認為哪個問題最簡單?

生(齊):1號問題。

師:那我們就從1號問題開始吧。徐老師有個要求,今天,我們不是直接解決這個簡單問題,而要一起來畫線段圖。

(畫線段圖:第一,如圖8,教師示范畫線段圖,提示學生畫線段圖之前先計劃一下,并記得寫上褲子和上衣,然后,畫出了一條線段代表褲子,標上了數(shù)據(jù)。第二,如圖9,學生在作業(yè)紙上畫出上衣所對應的線段,一個學生代表在黑板上畫圖)

師:上衣的價格是褲子的3倍,就要畫這樣的幾段(教師用手比畫)?

生(齊):3段。

師:很好,把已知條件都畫出來了。現(xiàn)在,我們需要在圖中標出問題。

(學生在作業(yè)紙上標注,一個學生代表在黑板上標注“?元”)

師:這就是線段圖。如圖10,請大家再看看屏幕上的圖和文字,再看看線段圖,你看到線段圖有什么樣的感覺?

生:剛開始看這道題時,理解還有些困難。但當畫出線段圖后,就可以理解這道題了。

師:請看圖10,這是褲子的價錢(48元)。這是上衣的價錢,相當于幾條褲子的價錢(3條)。誰能夠直接列算式求出上衣要多少錢?

生:3乘以48等于144元。

師:很好,1號問題解決了。我們來看2號問題,這個線段圖的問號還能表示一套衣服的錢數(shù)嗎?

生(齊):不能。

師:既然不能,請你用橡皮把代表上衣價錢的這個問號擦去,再想一想,一套衣服的價錢應該在線段圖上怎么表示?

(一個學生代表在黑板上畫圖,如圖11。之后,教師要求其他學生根據(jù)黑板上的做法,修改自己的線段圖)

師:線段沒有變化,現(xiàn)在要表示一套衣服多少元,他在這里標上了問號,對嗎?(學生點頭示意)請你列算式計算,想想先算什么,再算什么?

(學生在作業(yè)紙上自主解答問題,教師選擇兩個學生代表板書自己的算式)

師:兩個同學的結果都是192元,但是算式有點不一樣。誰能明白這里的48×3求出的是什么?(教師指著第一種算法)

生:求出的是上衣的價錢。

師:對,就是上衣的價錢,再加上褲子的價錢,就是一套衣服的價錢了。我看到大部分同學是這樣算的。再來看看第二種算法,老師有些看不懂了,哪個同學能幫老師解釋一下小括號里面的“3+1”是什么意思?

生:上衣有3份,褲子有1份,一套就有4份,每份都是48元,所以用48×(3+1)計算,一共192元。

師:同學們真厲害,不僅會畫線段圖,而且解決一套衣服要多少錢這個問題時還用了兩種不一樣的方法。

師:現(xiàn)在我們一起來解決3號問題。首先要自己讀題,再用橡皮擦掉表示“一套衣服多少錢”的那個問號,思考怎樣表示上衣比褲子貴的錢數(shù),最后在作業(yè)紙的空白處列出算式。

(學生在作業(yè)紙上自主解答問題,教師請一個學生代表畫出表示上衣比褲子貴多少錢的問號,如圖12。之后,學生自由表達自己的想法,教師板書算式)

師:誰來說一下自己列出的算式,并解釋一下。

生:3×48-48。3乘48表示上衣的價錢,再減去褲子的價錢48元,就求出上衣比褲子貴了多少錢。

師:和他一樣做法的同學請舉手。有沒有誰的方法和他的不一樣,也能求出來呢?

生:我列的是48×(3-1)。一件上衣是一條褲子的3倍,用上衣的3倍減去褲子的1倍就是2倍了,再乘以48就是上衣比褲子貴的錢數(shù)了。

師:你的思路基本準確,和他的做法一樣的同學請舉手。

師:剛才,我們一口氣提出并解決了3個問題。回顧一下,今天解決問題和以往解決問題好像略有不同,我們是用什么樣的解題策略來解決問題的?

生(齊):畫線段圖解決問題。

【賞析】發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題是學生應該具備的4項關鍵數(shù)學能力。首先,思考源于問題,徐老師引導學生在尋找數(shù)學信息的過程中發(fā)現(xiàn)情境中的已知條件,讓學生讀懂情境,又鼓勵學生從不同的角度提出了3個典型數(shù)學問題,這些問題均源于學生對題目的理解,有利于教師更好地讀懂學生。

其次,分析問題是解決問題的關鍵環(huán)節(jié),徐老師引導學生利用畫線段圖分析問題,很好地抓住了題目中的“變與不變”,逐次突破教學重、難點。不變的是已知條件和信息,變化的是所提出的數(shù)學問題,如何解決這樣的矛盾呢?徐老師巧妙地借助確定問號的位置,為學生建立文字信息與圖形直觀之間的聯(lián)系,幫助學生深刻理解線段圖,為用好線段圖奠定基礎。

其中,線段圖發(fā)揮著重要的作用,比如,在解釋“用48×(3+1)求一套衣服多少錢”和“用48×(3-1)求一件上衣比一條褲子貴多少錢”時,線段圖的直觀與形象,幫助學生清晰地理解“3+1”和“3-1”所表示的意義,一目了然。假設沒有線段圖,學生很難解釋和理解它們表示的意義,更有甚者,可能學生不會想到用這兩種算式來解決問題。

在解決問題中,我們需要用圖形直觀來解決問題,也需要用算式抽象來解決問題,但更重要的是從圖形直觀到算式抽象的過渡。本節(jié)課,一是在變化的圖形中發(fā)現(xiàn)不變的數(shù)量關系,解釋線段圖的由來;二是在不變的線段圖信息中尋找變化的問號在哪里,幫助學生學會畫線段圖。這樣一來,抽象的算式也能形象地解釋,有利于學生解決問題。

(作者單位:陜西省西安市長安湖居筆記小學)

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